Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Общая схема исследования функции и построения графика

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;

7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.

Пример 9 Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1. Область определения: ;

2. Функция терпит разрыв в точках , ;

Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.

; , ─ вертикальная асимптота.

3. Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.

Прямая ─ наклонная асимптота, если , .

, .

Прямая ─ горизонтальная асимптота.

4. Функция является четной т.к. . Чётность функции указывает на симметричность графика относительно оси ординат.

5. Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции.

Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не существует: ; . Имеем три точки ; . Эти точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знаки на каждом из них.

На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1) и (1; +∞) ─ убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум .

6. Найдём интервалы выпуклости, точки перегиба.

Найдём точки, в которых равна 0, или не существует.

не имеет действительных корней. , ,

Точки и разбивают действительную ось на три интервала. Определим знак на каждом промежутке.

Таким образом, кривая на интервалах и выпуклая вниз, на интервале (-1;1) выпуклая вверх; точек перегиба нет, т. к. функция в точках и не определена.

7. Найдем точки пересечения с осями.

С осью график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.

График заданной функции изображён на рисунке 1.

Рисунок 1 ─ График функции

Применение понятия производной в экономике.

Эластичность функции

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при , . (VII)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления. Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если ─ нейтральным, если ─ неэластичным относительно цены (или дохода).

Пример 10 Рассчитать эластичность функции и найти значение показателя эластичности для = 3.

Решение: по формуле (VII) эластичность функции:

Пусть х=3, тогда . Это означает, что если независимая переменная возрастёт на 1%, то значение зависимой переменной увеличится на 1,42 %.

Пример 11 Пусть функция спроса относительно цены имеет вид , где ─ постоянный коэффициент. Найти значение показателя эластичности функции спроса при цене х = 3 ден. ед.

Решение: рассчитаем эластичность функции спроса по формуле (VII)

Полагая ден.ед., получим . Это означает, что при цене ден.ед. повышение цены на 1% вызовет снижение спроса на 6%, т.е. спрос эластичен.

Интегралы

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на промежутке X, если в каждой точке этого промежутка

F^/ (x) = f(x).

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается т.е. .

Свойства неопределённого интеграла

1. , ─ постоянное число.

2. .

3. .

4. .

5. .

Таблица основных интегралов

№	Формулы	№	Формулы


	,

	,

Пример 12 Найти интеграл .

Решение:

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а) , если ;

б) .

Пример 13 Найти интегралы.

а) ; б) ;

в) ;

г) .

Замена переменной в неопределённом интеграле

(метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены

переменной, описываемый следующей формулой:

где ─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример 14 Найти интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

где ─ непрерывно дифференцируемые функции.

При использовании этой формулы за U берётся та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV ─ та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 15 Найти интегралы:

a) ; б) ; в) .