Связь между величинами, характеризующими поступательное и вращательное движение

,

,

Часто вместо угловой скорости , которую иногда называют круговой (угловой, циклической) частотой, используют частоту , связанную с круговой частотой соотношением .

.

В этом случае угол поворота обычно выражают в количестве оборотов , при этом, .

Равноускоренное движение по окружности описывается уравнениями:

или .

ЗАДАЧИ

Задача 1

Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через с. Найти высоту подъема тела и его начальную скорость.

Решение

Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением - g и происходит в течение времени t ₁, а движение вниз – равноускоренным с ускорением и происходит в течение времени t ₂. Уравнения, описывающие движение на участках АВ и ВА, образуют систему:

Поскольку , то . Подставив в первое уравнение системы, получим . Если сравнить это выражение с третьим уравнением системы, то можно сделать вывод о том, что время подъема равно времени спуска с. Начальная скорость и скорость при приземлении равны друг другу и составляют м/с.

Высота подъема тела

м.

Задача 2

Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения.

Решение.

Зависимость пройденного пути от времени для свободно падающего тела . Поскольку участок ВС, составляющие половину всего пути, пройден за время, равное 1 с, то первая половина пути АВ пройдена за время с. Тогда движение на участке ВС может быть описано как .

Решая систему получим . Корни этого уравнения с и с. Второй корень не подходит, т.к. время движения, исходя из условия задачи, должно превышать одну секунду. Следовательно, тело падало в течение 3,41 с и прошло за это время путь м.

Задача 3

С башни высотой 25 м горизонтально со скоростью 10 м брошено тело. Найти: 1) время падения тела, 2) на каком расстоянии от основания башни оно упадет, 3) скорость в конце падения, 4) угол, который составит траектория тела с землей в точке его приземления.

Решение

Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по горизонтали и равноускоренном с ускорением по вертикали. Поэтому участок АВ описывается уравнениями:

Для точки А эти уравнения принимают вид:

с

Тогда м, а м/с.

Поскольку , то м/с.

Угол, который траектория составляет с землей, равен углу в треугольнике скоростей в т. А, тангенс которого , поэтому .

Задача 4

Для тела, брошенного с горизонтальной скоростью м/с, через

время с после начала движения найти: нормальное, тангенциальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этой точке.

Решение

Вертикальная составляющая скорости м/с

Скорость в точке А:

, м/с.

Векторы образуют треугольник скоростей, а векторы - треугольник ускорений. Как видно из рисунка, эти треугольники подобны, а это означает, что их стороны пропорциональны: .

Отсюда, м/с²,

м/с².

Нормальное ускорение , поэтому радиус кривизны траектории

м.

 

Задача 5

Тело брошено со скоростью м/с² под углом к горизонту. На какую высоту тело поднимется. На каком расстоянии от места бросания оно упадет на землю? Какое время он будет в движении?

Решение

Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости

 

Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения: равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали:

В точке А .

Тогда и .

Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз - . На основании вывода, сделанного в задаче 4, время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит, с с.

При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно,

м.

Дальность полета м.

Высота подъема тела м.

 

Задача 6

Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением 3 рад/с². Определить, какой угловой скорости достигнет тело после 3 с своего вращения? Сколько оборотов оно при этом совершит?

Решение

Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений

В начальный момент тело покоилось, значит, . Тогда .

Следовательно, рад/с.

Количество оборотов оборота.

 

Задача 7

Вентилятор вращался с частотой 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Какое время прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким угловым ускорением он двигался?

Решение

Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений

Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота . Тогда выразим из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что об/мин = 15 об/с, получим

рад/с².

Время движения равно с.

Задача 8

Точка вращается по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с². Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального?

Решение

Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения . Так как , то . Нормальное ускорение . Тангенциальное ускорение . По условию задачи , тогда , следовательно, и с.

Задача 9

Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением , где С = 0,1 см/с³. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки 0,3 м/с.

Решение

Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения.

, .

Отсюда, с.

Тогда тангенциальное ускорение м/с².

Нормальное ускорение м/с².

Задача 10

Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a_τ = 1 м/с². Для момента времени t = 2 с определить: а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения; в) линейную и угловую скорости; г) нормальное, полное и угловое ускорения.

Решение

Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид (м). Это позволяет найти длину пути м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции , (рад) = 114,7⁰. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол .

м.

Линейная скорость точки м/с.

Угловая скорость рад/с.

Нормальное ускорение м/с².

Полное ускорение . Модуль полного ускорения

м/с².

Угловое ускорение рад/с².

Задача 11

Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с². Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между вектором полного ускорения автомобиля на повороте и вектором его скорости. Каковы угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот?

Решение

Зная скорость автомобиля км/ч = 10 м/с, найдем его нормальное ускорение

м/с².

Полное ускорение автомобиля м/с².

Угловое ускорение

рад/с².

Угловая скорость

рад/с.

Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол . Для нахождения этого угла определим вначале угол , дополняющий искомый угол до 180⁰.

.

Задача 12

Из вертолета, находящегося на высоте = 300 м, сбросили груз. Через какое время груз достигнет земли, если: а) вертолет неподвижен; б) вертолет опускается со скоростью 5 м/с; 3) вертолет поднимается со скоростью 5 м/с. Описать графически соответствующие движения груза в осях , и .

Решение

а) Груз, покинувший неподвижный вертолет, свободно падает, т.е. движется равноускоренно с ускорением свободного падения . Время движения найдем из соотношения . Откуда с. Графики движение объекта отмечены 1 на рисунке.

б) Движение груза, покинувшего вертолет, который опускается с постоянной скоростью 5 м/с, является равноускоренным движением с постоянным ускорением и описывается уравнением . Подстановка численных значений дает уравнение .

.

Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому время движения с.

Графики движение объекта отмечены 2 на рисунке.

3) Движение груза, покинувшего вертолет, который поднимается с постоянной скоростью 5 м/с, Состоит из двух этапов. На первом этапе – груз движется равнозамедленно с постоянным ускорением , направленным противоположно скорости, и описывается уравнениями .

В верхней точке траектории скорость становится равной нулю, поэтому .

Подставляя второе уравнение системы в первое, получим м.

На втором этапе – свободное падение с высоты м.

Поскольку , то м.

Графики движение объекта отмечены 3 на рисунке.

 

ДИНАМИКА

ЗАДАЧИ

Задача 1

К нити подвешен груз массой кг. Найти силу натяжения нити Т, если 1) нить с грузом покоится; 2) двигается вниз с ускорением a= 5 м/с²; 3) двигается вверх с ускорением a= 5 м/с².

Решение

На тело действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения . Уравнение движения тела (второй закон Ньютона) в данном случае имеет вид:

.

Выберем направление оси вниз и спроецируем на нее векторы сил и ускорения:

1) Н.

2) направлено вниз Н

3) направлено вверх Н.

Задача 2

Груз массой 50 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 300 Н, направленной под углом 30⁰ к горизонтали. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение, с которым движется груз.

Решение

Уравнение движения тела .

Выберем направления осей х и y и спроецируем на них силы и ускорение:

,

Поскольку , а из второго уравнения , то . Тогда из первого уравнения ускорение

Задача 3

Тело лежит на наклонной плоскости, образующей с горизонтом

угол 5º. При каком предельном коэффициенте трения тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением будет двигаться тело, если коэффициент трения 0,02? Какое время t понадобиться для прохождения при этих условиях пути 10 м. Какую скорость тело будет иметь в конце наклонной плоскости?

Решение

Запишем II закон Ньютона для данного тела .

Выбрав оси х и y, спроецируем на них силы и ускорение:

1) Для первого случая, когда и , имеем ,

откуда .

2) Во втором случае , поэтому тело будет скользить по наклонной плоскости с ускорением

м/с².

Поскольку тело движется равноускоренно из состояния покоя, то время прохождения им расстояния м и скорости в конце этого пути можно найти из уравнений кинематики

,

положив . Получим:

с

м/с.

Задача 4

Две гири массами 2 кг и 1 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силу натяжения нити. Трением в блоке пренебречь.

Решение

Условие невесомости и нерастяжимости нити позволяет сделать вывод о том, что сила натяжения нити на всех участках одинакова и грузы движутся с одинаковым ускорением, т.е. . Запишем законы движения для каждого груза.

.

Выберем направление оси y вниз и спроецируем на нее силы и ускорения:

Отсюда

м/с².

Н.

Задача 5

Автомобиль массой m = 5 тонн проходит по выпуклому мосту со скоростью 36 км/ч. С какой силой он давит на середину моста, если радиус кривизны моста 100 м? Какова будет сила давления, если мост будет вогнутый с тем же радиусом кривизны?

Решение

На основании II закона Ньютона запишем уравнение движения автомобиля:

.

Выберем направление оси y и спроецируем на нее силы и ускорение. Обратим внимание на то, что поскольку движение автомобиля равномерное криволинейное, то ускорение

.

По III закону Ньютона сила, с которой автомобиль давит на мост, равна по модулю силе, с которой мост давит на автомобиль, т.е. силе нормальной реакции опоры N.

1) Уравнение движения в проекциях для первого случая имеет вид

 

2) Для второго случая

Задача 6

Стальной шарик массой m = 10 г, летящий со скоростью 100 м/с

по нормали к стенке, ударяется о нее и упруго отскакивает без потери скорости. Найти импульс, полученный стенкой за время удара.

Решение

Из II закона Ньютона

.

Величина называется импульсом силы. Видно, что по модулю импульс силы равен

,

т.е. изменению импульса шарика.

Выберем ось х и спроецируем импульсы шарика: .

Поскольку по условию задачи , то кг·м/с

Задача 7

На рельсах стоит платформа массой 10 т. На платформе закреплено орудие массой 5 т, из которого производится импульс вдоль рельсов. Масса снаряда 100 кг; его начальная скорость относительно орудия 500 м/с. Найти скорость платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно (v = 0 ); 2) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, утверждающим, что импульс замкнутой системы остается постоянным.

Запишем импульс системы, состоящей из пушки, орудия и снаряда, до выстрела () и после него , в результате которого этот импульс меняется. Напомним, что суммарный импульс системы представляет собой векторную сумму импульсов тел, входящих в систему.

1). Импульс системы до выстрела

,

т.к. вначале платформа с орудием покоилась ().

После выстрела импульс системы

.

По закону сохранения импульса , следовательно,

.

Спроецируем это уравнение на выбранную ось х:

.

Обратим внимание на следующий факт. Из опыта мы знаем, что в результате выстрела платформа с орудием откатится в сторону, противоположную выстрелу, поэтому при проецировании мы сразу можем учесть это, поставив знак «минус» перед скоростью u платформы. Тогда мы получим

,

откуда

м/с.

В ряде случаев, когда заранее нет ясности в том, в какую сторону будет двигаться объект, считаем, что скорость направлена вдоль оси х. В этом случае положительное значение полученного результата вычислений подтвердит наше предположение, а отрицательное – укажет на то, что движение происходит в направлении, противоположном выбранному.

2) Закон сохранения импульса в случае, когда платформа движется со скоростью 18км/ч = 5м/с, имеет вид

.

В проекциях на ось х:

.

Отсюда

Обратим внимание на то, что, посчитав, как в предыдущем случае, что платформа после выстрела начнет двигаться в обратную сторону, мы ошиблись, на что указывает знак «минус» в полученном ответе. Значит, направление движения платформы осталось прежним, но скорость ее уменьшилась.

3) Закон сохранения импульса в третьем случае имеет вид, аналогичным тому, что был записан для второго случая, т.е.

,

с той лишь разницей, что при проецировании на ось х, получим другие знаки для скоростей:

Это даст

Таким образом, платформа будет двигаться в том же направлении со скоростью большей, чем первоначальная.

Задача 8

Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 2 м/с, впрыгивает на тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 1 м/с. С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком на ней, если: 1) человек догоняет тележку; 2) тележка и человек двигаются навстречу друг другу?

Решение

Закон сохранения импульса в данном случае имеет вид

.

1) Когда человек догоняет тележку, то их скорости направлены в одну сторону, следовательно, при проецировании на горизонтальную ось имеем

,

откуда

м/с.

2) Когда человек и тележка движутся навстречу друг другу, то их скорости имеют разные знаки. Тогда уравнение в проекциях на ось х имеет вид

,

откуда

м/с.

Тележка с человеком на ней будет двигаться в сторону, противоположную тому, куда двигалась тележка без человека.

 

Задача 9

Шар массой = 2 кг движется со скоростью = 3 м/с и нагоняет шар массой = 8 кг, движущийся со скоростью = 1 м/с. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти скорости и шаров после удара.

Решение

В случае абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и энергии:

Отсюда следует, что .

Умножив это выражение на и вычтя результат из а затем, умножив это выражение на и сложив результат с получим скорости шаров после абсолютно упругого удара

Спроецировав скорости на ось х и подставив данные задачи, получим

м/с

м/с.

Знак «минус» в первом выражении означает, что в результате абсолютно упругого удара первый шар начал двигаться в обратном направлении. Второй шар продолжил движение в прежнем направлении с большей скоростью.

 

 

Задача 10

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l= 1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10º .

Решение

Для решения задачи необходимо использовать законы сохранения. Запишем закон сохранения импульса для системы «шар-пуля», полагая, что их взаимодействие подпадает под описание так называемого неупругого удара, т.е. взаимодействия, в результате которого два тела движутся как единое целое:

.

Учтем, что шар покоился и движение пули, а затем шара с пулей внутри происходило в одну сторону, получим уравнение в проекциях на горизонтальную ось в виде: .

Запишем закон сохранения энергии

.

Поскольку , то , и, тогда

.

Учитывая, что , получим

м/с.

 

Задача 11

Конькобежец массой = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v= 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02?

Решение

Импульс системы «конькобежец-камень» сохраняется, поэтому

.

С учетом того, что , получим в уравнение в проекциях на горизонтальную ось

,

откуда скорость конькобежца . Из закона сохранения энергии кинетическая энергия конькобежца расходуется им на работу против силы трения, поэтому .

,

т.к. (сила трения направлена в сторону, противоположную скорости). Приращение кинетической энергии

.

Тогда

.

Расстояние

м.

 

Задача 12

К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила R = 100 Н. При вращении на диск действует момент сил трения 5 Н·м. Определить массу диска, если он вращается с угловым ускорением 100 рад/с².

Решение

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его

центр масс, равен

.

Момент сил, действующих на диск, равен

.

Подставляя это в основное уравнение динамики вращательного движения