 |
Формация. Произведение формаций
|
|
|
|
Содержание
Введение
1 Формация. Произведение формаций
2 Операции на классах групп
3 Экраны
3.1 Экраны формации
3.2 Формация с однородным экраном
4 Локальная формация
5 Построение локальных формаций
6 Локальные формации с заданными свойствами
Заключение
Литература
Введение
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.
В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.
Формация. Произведение формаций
Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой 
и все группы, изоморфные .
Если группа (подгруппа) принадлежат классу 
, то она называется -группой ( -подгруппой).
Определение 1.2. Класс групп 
называется формацией, если выполняются следующие условия:
1) каждая фактор-группа любой группы из также принадлежит ;
2) из 
всегда следует 
.
Если формации и 
таковы, что 
, то называется подформацией формации .
По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество 
всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация 
– это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс 
всех 
-групп, класс 
всех абелевых групп, класс 
всех нильпотентных групп, класс 
всех 
-групп ( – фиксированное простое число), класс 
всех нильпотентных -групп, класс 
всех разрешимых групп, класс 
всех разрешимых -групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.
|
|
|
Лемма 1.1. Справедливы следующие утверждения:
1) пересечение любого множества формаций также является формацией;
2) если 
– некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения 
, то объединение 
является формацией.
Доказательство осуществляется проверкой.
Определение 1.3. Пусть – непустая формация. Обозначим через 
и назавем - корадикалом группы пересечение всех тех нормальных подгрупп 
из , для которых 
.
Очевидно, -корадикал любой группы является характеристической подгруппой. -корадикал группы обозначают иначе через 
и называют 
-корадикалом. -корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, -разрешимый корадикал, - сверхразрешимый корадикал и т.д. -корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, -корадикал сохраняется при гомоморфизмах.
Лемма 1.2. Пусть – непустая формация, 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
2) если 
то 
3) если 
и 
, то 
Доказательство. Пусть 
. Тогда
Отсюда следует, что 
. С другой стороны,
откуда получаем 
. Из 
и 
следует равенство 
. Утверждение 1) доказано.
Пусть 
– естественный гомоморфизм группы 
на 
Очевидно,
откуда следует равенство 
. В частности, если 
, то 
. Лемма доказана.
Определение 1.4. Пусть 
и 
– некоторые формации. Если 
, то положим 
Если 
, то обозначим через 
класс всех тех групп , для которых 
Класс называется произведением формаций и 
.
|
|
|
Из определения 1.4 следует, что произведение формаций является пустой формацией тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций 
является пустой. Можно определить произведение нескольких формаций как результат последовательного умножения. Если задан упорядоченный набор формаций 
причем произведение 
уже определено, то 
В частности, если 
для любого 
то мы приходим к понятию степени 
Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зрения построения формаций.
Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также является формацией.
Лемма 1.3. Пусть 
и 
– нормальные подгруппы группы . Тогда каждый главный фактор группы 
-изоморфен либо некоторому главному фактору группы 
, либо некоторому главному фактору группы 
Доказательство вытекает из рассмотрения -изоморфизма 
Теорема 1.2. Пусть 
– некоторая формация, 
– класс всех тех групп, все главные факторы которых принадлежат 
Пусть 
– объединение формаций 
Тогда – подформация формации 
Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что – формация. Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекает, что класс является формацией. Если 
– минимальная нормальная подгруппа группы , то по индукции 
для некоторого натурального 
. Но тогда либо 
, либо 
– 
-корадикал группы . Так как 
, то отсюда вытекает, что 
, и теорема доказана.
Операции на классах групп
Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.
Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции 
, примененной к классу 
обозначается через 
Степень операции определяется так: 
Произведение операций определяется равенствами:
Введем операции 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда 
вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу;
тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;
тогда и только тогда, когда является гомоморфным образом некоторой -группы;
тогда и только тогда, когда совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;
|
|
|
тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы 
такие, что
тогда и только тогда, когда является расширением -группы с помощью -группы;
тогда и только тогда, когда имеет нормальную подгруппу 
такую, что 
Если 
, то вместо 
пишут 
Обратим внимание на тот факт, что если 
– нормальные подгруппы группы , причем 
для любого 
, то 
Заметим еще, что операцию 
можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения 
называется подпрямым произведением групп 
если проекция на 
совпадает с 
Легко видеть, что 
тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.
Определение 2.2. Класс называется замкнутым относительно операции 
или, более коротко, 
- замкнутым, если 
Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно 
-замкнут и -замкнут. 
-замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он 
-замкнут (соответственно 
-замкнут).
Лемма 2.1. 
. Если класс групп содержит единичную группу и -замкнут, то 
Доказательство. Относительно операций 
и 
утверждение очевидно. Пусть 
– произвольный класс групп. Ясно, что 
Если 
, то в 
найдется нормальная подгруппа такая, что 
. Группа 
имеет нормальную подгруппу 
такую, что 
и 
Но тогда 
Так как 
, то 
, а значит, 
Таким образом, 
, что и требуется.
Пусть 
. Если 
, то 
имеет нормальную -подгруппу 
такую, что 
Группа 
имеет нормальную -подгруппу 
такую, что 
. Так как 
и 
, то из -замкнутости класса следует, что 
. Значит, 
, т.е. 
. Обратное включение очевидно.
Лемма 2.2. Для любого класса справедливо следующее утверждение: 
Доказательство. Если 
, то 
Пусть 
Если 
, то 
, а значит, 
. Таким образом, 
. Пусть 
. Тогда имеет такие нормальные подгруппы 
, что 
Группа 
имеет такие нормальные подгруппы 
, что 
Так как 
, то 
, что и доказывает равенство 
|
|
|
Лемма 2.3. Для любого класса имеет место включение 
Доказательство. Если 
, то 
. Пусть 
и группа 
является подпрямым произведением групп 
, где 
. Рассмотрим функцию 
. Функция 
является гомоморфизмом группы 
в группу 
. Ясно, что
есть подпрямое произведение групп 
, причем 
. Следовательно, 
, и лемма доказана.
Лемма 2.4. 
В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.
Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга, если он одновременно 
-замкнут и 
-замкнут.
Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.
Определение 2.4. Пусть 
непустой 
-замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через 
и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.
Классы 
являются радикальными. 
-радикал группы – это ее подгруппа Фиттинга 
-радикал обозначают иначе через 
и называют 
-радикалом. 
-радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины 
-нильпотентный радикал, 
-замкнутый радикал и т.д. Класс всех 
-нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; 
– это -нильпотентный радикал группы 
.
В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций 
Теорема 2.1. Пусть 
и 
– формации, причем либо 
, либо замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда 
– формация, совпадающая с произведением 
Определение 2.5. Пусть – некоторое множество групп. Пусть 
– пересечение всех тех формаций, которые содержат 
класс называется формацией, порожденной множеством групп
Заметим, что операцию 
часто обозначают иначе через 
Если 
то пишут 
вместо 
, причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .
Теорема 2.2. Для любого класса имеет место равенство: 
Доказательство. Если 
, то 
, и утверждение верно. Пусть 
. Так как 
, то класс 
является 
-замкнутым. 
есть класс и 
по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем
Последнее означает 
-замкнутость класса . Итак, 
– формация, содержащая , так как 
. Значит, 
. Обратное включение очевидно.
Лемма 2.5. Для любых элементов 
группы выполняются равенства 
Если 
– подгруппы группы 
, то выполняются следующие утверждения:
1) 
2) 
для любого гомоморфизма 
группы ; в частности, если группа 
из нормализует 
и 
, то нормализует и 
|
|
|
Лемма 2.6 Пусть 
– подгруппа нильпотентной группы , причем 
. Тогда 
Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном 
выполняется включение:
При 
это верно, так как 
, а значит, 
. Предположим, что включение (*) справедливо при некотором 
. Тогда, используя лемму 2.5, получаем
Тем самым (*) доказано.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если 
– такая подгруппа группы , что 
, то 
Доказательство. Пусть 
– нильпотентная нормальная подгруппа группы , а – такая подгруппа из , что 
. Докажем индукцией по 
, что 
. Это верно, если 
. Поэтому будем считать, что 
. Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения 
Очевидно, подгруппа 
нормализует 
и 
. Обозначим через 
подгруппу группы 
, порожденную подгруппами 
. Поскольку проекции на множители прямого произведения равны , то 
. Заметим еще, что 
, где 
нормальна в и нильпотентна как подпрямое произведение из 
.
Пусть 
– центр подгруппы 
, 
. Легко видеть, что 
, причем 
и поэлементно перестановочны; аналогично, 
и 
поэлементно перестановочны. Но тогда 
, абелева и нормальна в . Если 
, то 
, где 
, и если 
, то 
, что влечет 
. Следовательно, 
. Если абелева, то 
, и мы имеем
Предположим теперь, что 
. Ясно, что 
. Так как
то 
нильпотентна ступени 
. Так как 
, то 
изоморфна 
и имеет ступень 
, а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание 
в имеет ступень . Так как нормализует 
и 
, то нормальна в 
. Итак, 
, причем 
. По индукции
Для группы 
и ее нильпотентной нормальной подгруппы 
ступени теорема также верна по индукции. Поэтому
Теорема доказана.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.
Доказательство. Пусть – подформация формации 
. Если 
, то по теореме 2.3 имеет место 
, что и требуется.
Экраны
Недостатком понятия групповой функции 
является то, что не всегда уплотнение -центрального ряда нормальными подгруппами является -центральным рядом.
Определение 3.1. Отображение класса 
всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы выполняются следующие условия:
1) 
– формация;
2) 
для любого гомоморфизма группы ;
3) 
.
Из условия 2) вытекает, что экран принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией 
.
Лемма 3.1. Пусть – экран, – группа операторов группы , 
– некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если обладает нормальным 
-допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .
Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:
Пусть 
. Тогда ряд
будет искомым. В этом нетрудно убедит
|
|
|
