Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Формация. Произведение формаций

Содержание

 

Введение

1 Формация. Произведение формаций

2 Операции на классах групп

3 Экраны

3.1 Экраны формации

3.2 Формация с однородным экраном

4 Локальная формация

5 Построение локальных формаций

6 Локальные формации с заданными свойствами

Заключение

Литература

 

 


Введение

 

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.

В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.

 

 


Формация. Произведение формаций

 

Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой  и все группы, изоморфные .

Если группа (подгруппа) принадлежат классу , то она называется -группой ( -подгруппой).

Определение 1.2. Класс групп  называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из  также принадлежит ;

2) из  всегда следует .

Если формации  и  таковы, что , то  называется подформацией формации .

По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество  всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация  – это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс  всех -групп, класс  всех абелевых групп, класс  всех нильпотентных групп, класс  всех -групп (  – фиксированное простое число), класс  всех нильпотентных -групп, класс  всех разрешимых групп, класс  всех разрешимых -групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.

Лемма 1.1. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого множества формаций также является формацией;

2) если  – некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения , то объединение  является формацией.

Доказательство осуществляется проверкой.

Определение 1.3. Пусть  – непустая формация. Обозначим через  и назавем - корадикалом группы  пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых .

Очевидно, -корадикал любой группы является характеристической подгруппой. -корадикал группы  обозначают иначе через  и называют -корадикалом. -корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, -разрешимый корадикал, - сверхразрешимый корадикал и т.д. -корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, -корадикал сохраняется при гомоморфизмах.

Лемма 1.2. Пусть  – непустая формация, . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2) если  то

3) если  и , то

Доказательство. Пусть . Тогда

 

 

Отсюда следует, что . С другой стороны,

 

 

откуда получаем . Из  и  следует равенство . Утверждение 1) доказано.

Пусть  – естественный гомоморфизм группы  на  Очевидно,


 

откуда следует равенство . В частности, если , то . Лемма доказана.

Определение 1.4. Пусть  и  – некоторые формации. Если , то положим  Если , то обозначим через  класс всех тех групп , для которых  Класс  называется произведением формаций  и .

Из определения 1.4 следует, что произведение формаций  является пустой формацией тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций  является пустой. Можно определить произведение нескольких формаций как результат последовательного умножения. Если задан упорядоченный набор формаций  причем произведение  уже определено, то  В частности, если  для любого  то мы приходим к понятию степени

Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зрения построения формаций.

Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также является формацией.

Лемма 1.3. Пусть  и  – нормальные подгруппы группы . Тогда каждый главный фактор группы -изоморфен либо некоторому главному фактору группы , либо некоторому главному фактору группы

Доказательство вытекает из рассмотрения -изоморфизма

Теорема 1.2. Пусть  – некоторая формация,  – класс всех тех групп, все главные факторы которых принадлежат  Пусть  – объединение формаций  Тогда  – подформация формации

Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что  – формация. Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекает, что класс  является формацией. Если  – минимальная нормальная подгруппа группы , то по индукции  для некоторого натурального . Но тогда либо , либо  – -корадикал группы . Так как , то отсюда вытекает, что , и теорема доказана.

Операции на классах групп

 

Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.

Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции , примененной к классу  обозначается через  Степень операции  определяется так:  Произведение операций определяется равенствами:

 

 

Введем операции  следующим образом:

 тогда и только тогда, когда  вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу;

 тогда и только тогда, когда  вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;

 тогда и только тогда, когда  является гомоморфным образом некоторой -группы;

 тогда и только тогда, когда  совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;

 тогда и только тогда, когда  имеет нормальные подгруппы  такие, что


 

 тогда и только тогда, когда  является расширением -группы с помощью -группы;

 тогда и только тогда, когда  имеет нормальную подгруппу  такую, что

Если , то вместо  пишут  Обратим внимание на тот факт, что если  – нормальные подгруппы группы , причем  для любого , то  Заметим еще, что операцию  можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа  прямого произведения  называется подпрямым произведением групп  если проекция  на  совпадает с  Легко видеть, что  тогда и только тогда, когда  есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.

Определение 2.2. Класс  называется замкнутым относительно операции  или, более коротко, - замкнутым, если

Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно -замкнут и -замкнут. -замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он -замкнут (соответственно -замкнут).

Лемма 2.1. . Если класс групп  содержит единичную группу и -замкнут, то

Доказательство. Относительно операций  и  утверждение очевидно. Пусть  – произвольный класс групп. Ясно, что  Если , то в  найдется нормальная подгруппа  такая, что . Группа  имеет нормальную подгруппу  такую, что  и  Но тогда  Так как , то , а значит,  Таким образом, , что и требуется.

Пусть . Если , то  имеет нормальную -подгруппу  такую, что  Группа  имеет нормальную -подгруппу  такую, что . Так как  и , то из -замкнутости класса  следует, что . Значит, , т.е. . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.2. Для любого класса  справедливо следующее утверждение:

Доказательство. Если , то  Пусть  Если , то , а значит, . Таким образом, . Пусть . Тогда  имеет такие нормальные подгруппы , что  Группа  имеет такие нормальные подгруппы , что  Так как , то , что и доказывает равенство

Лемма 2.3. Для любого класса  имеет место включение

Доказательство. Если , то . Пусть  и группа  является подпрямым произведением групп , где . Рассмотрим функцию . Функция  является гомоморфизмом группы  в группу . Ясно, что

 

 

есть подпрямое произведение групп , причем . Следовательно, , и лемма доказана.

Лемма 2.4.

В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.

Определение 2.3. Класс групп  называется классом Фиттинга, если он одновременно -замкнут и -замкнут.

Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.

Определение 2.4. Пусть  непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через  и назовем - радикалом группы  произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы  являются радикальными. -радикал группы  – это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через  и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным;  – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть  и  – формации, причем либо , либо  замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда  – формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть  – некоторое множество групп. Пусть  – пересечение всех тех формаций, которые содержат  класс  называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию  часто обозначают иначе через  Если  то пишут  вместо , причем в этом случае  называют формацией, порожденной группой .

Теорема 2.2. Для любого класса  имеет место равенство:

Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс  является -замкнутым.  есть класс и  по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем

 

 

Последнее означает -замкнутость класса . Итак,  – формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.5. Для любых элементов  группы  выполняются равенства  Если  – подгруппы группы , то выполняются следующие утверждения:

1)

2)  для любого гомоморфизма  группы ; в частности, если группа  из  нормализует  и , то  нормализует и

Лемма 2.6 Пусть  – подгруппа нильпотентной группы , причем . Тогда

Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном  выполняется включение:

 


При  это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем

 

 

Тем самым (*) доказано.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если  – такая подгруппа группы , что , то

Доказательство. Пусть  – нильпотентная нормальная подгруппа группы , а  – такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения

 

 

Очевидно, подгруппа  нормализует  и . Обозначим через  подгруппу группы , порожденную подгруппами . Поскольку проекции  на множители прямого произведения  равны , то . Заметим еще, что , где  нормальна в  и нильпотентна как подпрямое произведение из .

Пусть  – центр подгруппы , . Легко видеть, что , причем  и  поэлементно перестановочны; аналогично,  и  поэлементно перестановочны. Но тогда , абелева и нормальна в . Если , то , где , и если , то , что влечет . Следовательно, . Если  абелева, то , и мы имеем


 

Предположим теперь, что . Ясно, что . Так как

 

 

то  нильпотентна ступени . Так как , то  изоморфна  и имеет ступень , а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание  в  имеет ступень . Так как  нормализует  и , то  нормальна в . Итак, , причем . По индукции

 

 

Для группы  и ее нильпотентной нормальной подгруппы  ступени  теорема также верна по индукции. Поэтому

 

 

Теорема доказана.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.

Доказательство. Пусть  – подформация формации . Если , то по теореме 2.3 имеет место , что и требуется.

 


Экраны

 

Недостатком понятия групповой функции  является то, что не всегда уплотнение -центрального ряда нормальными подгруппами является -центральным рядом.

Определение 3.1. Отображение  класса  всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы  выполняются следующие условия:

1)  – формация;

2)  для любого гомоморфизма  группы ;

3) .

Из условия 2) вытекает, что экран  принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если  – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией .

Лемма 3.1. Пусть  – экран,  – группа операторов группы ,  – некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если  обладает нормальным -допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .

Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:

 

 

Пусть . Тогда ряд

 


будет искомым. В этом нетрудно убедит

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...