Построение локальных формаций

1. Формация всех групп. Формация  обладает локальным экраном  таким, что  для любого простого .

2. Формация единичных групп. Формация  имеет пустой экран, который, очевидно, локален.

3. Формация нильпотентных -групп. Пусть  – формация всех нильпотентных -групп,  – такой локальный экран, что  для любого  для любого . Очевидно,  – минимальный локальный экран формации .

4. Формация -групп. Пусть  – формация всех -групп,  – такой локальный экран, что  для любого  для любого . Очевидно,  – макcимальный внутрений локальный экран формации .

5. Формация -нильпотентных групп. Пусть  – формация всех -нильпотентных групп (  – фиксированное простое число),  – такой локальный экран, что  для любого простого числа , отличного от . Покажем, что  – экран формации . Главный ряд -нильпотентной группы -централен. Пусть . Нужно установить, что -нильпотентна. Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции -нильпотентна. Если  – -группа, то отсюда следует, что и -нильпотентна. Если же -группа, то , т.е. . Если теперь  – -подгруппа из , то ввиду  подгруппа -нильпотентна, а значит, и -нильпотентна. Тем самым показано, что .

Теорема 5.1. В любой -группе  подгруппа  совпадает с пересечением централизаторов в  всех главных -факторов группы .

Следствие 5.1.1. В любой группе  подгруппа Фиттинга  совпадает с пересечением централизаторов в  всех главных факторов группы .

Следствие 5.1.2. Для любой -разрешимой группы  имеет место включение .

Следствие 5.1.3. (Фиттинг).  для любой разрешимой группы .

Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант -сверхразрешимой группы -нильпотентен.

6. Формация -замкнутых групп. Пусть  – формация всех -замкнутых групп (  – некоторое фиксированное множество простых чисел),  – такой локальный экран, что  для любого  для любого . Покажем, что  – экран формации .

Очевидно, . Предположим, что класс  не пуст, и выберем в нем группу  наименьшего порядка. Тогда  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем  не является -группой. Пусть . Так как , то , а значит, . Поэтому  – абелева -группа. Так как -замкнута, то и -замкнута, т.е.  имеет нормальную -подгруппу . Ясно, что . Так как , то . Легко видеть, что , а значит, и группа -замкнута. Тем самым показано, что .

7. Формация -дисперсивных групп. Пусть  – некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел,  – формация всех -дисперсивных групп. Покажем, что  локальна.

Рассмотрим всевозможные множества  простых чисел, обладающие следующим свойством:  для всех . Пусть  – формация всех -замкнутых групп. Очевидно, . Так как формации  локальны, то по лемме 3.4 формация  также является локальной.

8. Формация -разрешимых групп. Пусть  – формация всех -разрешимых групп,  – такой локальный экран, что  для любого простого . Нетрудно заметить, что  – максимальный внутрений локальный экран формации . В частности, формация  является локальной.

9. Формация -сверхразрешимых групп. Пусть  – формация всех -сверхразрешимых групп. Обозначим через  формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей . Построим локальный экран  такой, что  для любого  для любого . Покажем, что . Ясно, что . Пусть ,  – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции . Если  – -группа, то -сверхразрешима. Пусть порядок   делится на некоторое число . Тогда, если , то

Отсюда следует, что  – -группа.

Лемма5.1. Пусть  – некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов -группы  и . Тогда  – циклическая группа порядка, делящего . Кроме того,  – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению .

Доказательство. Будем считать, что  – аддитивная абелева группа. Тогда  можно рассматривать как правое векторное пространство размерности  над полем  из  элементов. Пусть  – коммутативное подкольцо кольца , порожденное элементами  и . Ввиду условия  является неприводимым правым -модулем (определения, связанные с -модулями, см. у Кэртиса и Райнера [1]). По лемме Шура,  – тело. Так как  коммутативно, то . Легко видеть, что множество всех ненулевых элементов из  замкнуто относительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому  – поле. Так как -модуль  неприводим, то  для любого ненулевого ; но тогда отображение , является -гомоморфизмом -модуля  на . Так как ядро  есть идеал поля , то  – изоморфизм. Следовательно, . Известно, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому  циклическая и  делит .

Пусть  – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению . Тогда  делит . Хорошо известно, что поле  порядка  содержит подполе  порядка . Так как циклическая группа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и  делит , то . Но тогда  и . Лемма доказана.

10. Формация . Пусть  – непустая формация,  – такой локальный экран, что  для любого простого . Применяя следствие 7.1.1 можно увидеть, что  – экран формации . В частности, формации  и  являются локальными формациями.

Пусть  – локальный экран некоторой подформации  из . Применяя леммы 3.3 и 4.3, видим, что  является локальным -экраном формации . Таким образом, каждая локальная подформация формации  имеет внутренний локальный -экран. В частности, любая локальная подформация формации  имеет внутренний локальный -экран.