Локальные формации с заданными свойствами

 

Пусть  – некоторая операция,  – локальный экран формации . Естественно возникают два вопроса:

1) Будет ли -замкнутой, если -замкнута для любого простого ?

2) Будет ли -замкнутой для любого простого , если -замкнута?

Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.

Теорема Слепова 1 Пусть  – некоторый класс групп,  – максимальный внутренний локальный экран формации ,  – фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если , то ;

2) если , то .

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть  – одна из операций , . Предположим, что . Пусть  – (нормальная) подгруппа группы  и . Рассмотрим регулярное сплетение , где ,  – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :

 

Пусть . Так как  и , то

 

 

для любого . Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 () подгруппа  является -группой. Так как  и формация  является по теореме 3.3 -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута ( -замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого  формация -замкнута (соответственно -замкнута).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что -замкнута ( -замкнута). Полагая  и применяя теорему, мы получаем, что -замкнута ( -замкнута) для любого простого .

Достаточность. Пусть для любого простого  формация  является -замкнутой ( -замкнутой). Пусть  – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то  обладает -центральным главным рядом

 

 

Пусть . Так как

 

то , где . Пусть . По условию  и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд

 

 

является -центральным рядом группы . Теорема доказана.

Для любого натурального числа -замкнутый класс  содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения  нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.

Определение. Класс групп  назовем слабо -замкнутым, , если  содержит всякую группу , имеющую  нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.

Легко заметить, что если  и  – подгруппы группы  причем  и  взаимно просты, то .

Теорема Слепова 3 Пусть  – локальный экран формации  и пусть для некоторого натурального числа  выполняется следующее условие: для любого простого  формация  либо совпадает с , либо входит в  и является слабо -замкнутой. Тогда  слабо -замкнута.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в , но имеющие  нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу  наименьшего порядка. Таким образом,  не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы  с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы  неединичны.

Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . В  подгруппы  имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для  теорема верна, то . Ясно, что  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем  и  для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где  пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть . Тогда  неабелева и . Отсюда и из единственности  вытекает, что . Но тогда  и, следовательно,  можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла  нильпотентна. Так как  к тому же нормальна в , то . Но тогда  для любого , а так как формация  слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как  и по условию . Получили противоречие.

Случай 2. Пусть . Тогда  входит в  и является -группой. Так как , то  абелева. Пусть  – максимальная подгруппа группы , не содержащая . Тогда , , , . Отсюда, ввиду единственности , заключаем, что , a значит, . По лемме 3.10  является -группой. Но тогда и  является -группой, причем . Мы получаем, таким образом, что  для любого . Но тогда , так как  слабо -замкнута. Последнее означает, что -центральна в , что противоречит равенству . Снова получили противоречие.

Теорема доказана.

Следствие 4 Пусть группа  имеет две нормальные -сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда -сверхразрешима.

Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы при .

Следствие 5 Пусть группа  имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда  сверхразрешима.

Теорема Слепова 6 Пусть формация  имеет такой локальный экран , что для любого простого  формация  либо совпадает с , либо входит в  и является -замкнутой. Тогда -замкнута.

Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы.

Теорема Слепова 7 Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута (слабо -замкнута, ) тогда и только тогда, когда для любого простого  формация -замкнута (соответственно слабо -замкнута).

Доказательство. Достаточность вытекает из теорем и. Пусть -замкнута (слабо -замкнута, ). Пусть , где  – нормальные -подгруппы (нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как , то . Покажем, что .

Пусть , где ,  – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11  для любого . Так как -замкнута (слабо -замкнута), то отсюда вытекает, что . Если  – пересечение централизаторов в  всех -главных факторов группы , то

 

Так как , то по лемме 3.10 подгруппа  является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3 имеет место равенство .

Теорема доказана.

Лемма Чунихин 8 Пусть , , . Тогда . В частности, если  и , то  непростая.

Доказательство. Из равенства  следует, что

Следовательно, . Отсюда, ввиду  для любого , получаем . Лемма доказана.

Теорема Виландт 9 Группа  разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты.

Доказательство. Пусть группа  имеет разрешимые подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть  – минимальная нормальная подгруппа из . Так как  разрешима, то ,  – простое число. Ввиду условия теоремы,  не делит одновременно  и . Пусть, для определенности,  не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из  является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как  и , то по лемме . Таким образом,  – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе  индексы подгрупп ,  и  попарно взаимно просты. По индукции  разрешима, но тогда и  разрешима. Теорема доказана.

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп  называется -замкнутым (  – натуральное число), если  содержит всякую группу , имеющую -подгрупп, индексы которых в  при  попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация -замкнута для любого . Единственной -замкнутой непустой формацией, отличной от , условимся считать .

Лемма 10 Пусть  и  – -замкнутые классы групп. Тогда  также -замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11 Пусть формация  содержится в  и -замкнута, . Тогда формация  является -замкнутой.

Доказательство. Пусть группа  имеет -подгруппы , ,…, , индексы которых в  попарно взаимно просты. Так как , то по теореме группа  разрешима. При любом гомоморфизме группы  образы подгруппы  принадлежат  и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что -корадикал  группы  является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что  является -группой для некоторого . Подгруппа Фиттинга  группы  также является -группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей , делится на . Поэтому  содержится по крайней мере в  подгруппах нашей системы подгрупп . Будем считать, что , . Так как  является -группой, то  и  поэлементно перестановочны, . Отсюда и из следствия вытекает, что , . Так как , то мы получаем, что , . Воспользовавшись -замкнутостью формации , мы приходим к тому, что .

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12 Пусть  – такой локальный -экран формации , что для любого простого  формация -замкнута, . Тогда -зaмкнута.

Доказательство. Так как  – -экран, то  для любого простого , а значит, . Пусть . Ввиду леммы 4.5 . Если , то  и -замкнута; если же , то по лемме формация -замкнута. В любом случае -замкнута. По лемме -замкнута. Применяя лемму, мы видим, что и формация -замкнута. Теорема доказана.

Так как формация  имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы при , то мы получаем

Следствие Кегель 13 Группа  нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты.

Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.

Лемма 14 Класс всех -замкнутых групп -замкнут.

Доказательство такое же, как и у теоремы.

Лемма 15 Каждая формация нилъпотентных групп является -замкнутой.

Доказательство. Пусть  – некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа  имеет -подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию группа  нильпотентна. Если  – наивысшая степень простого числа , делящая , то  делит  для некоторого , так как  не может делить одновременно индексы всех подгрупп ,  и . Если  делит , то силовская -подгруппа  из  входит в  и является силовской -подгруппой группы . Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы  являются -группами. Так как  – формация, то отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 16 Пусть  – некоторый -замкнутый гомоморф -замкнутых групп. Тогда класс -замкнут.

Доказательство. Пусть группа  имеет -подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. По лемме  имеет нормальную силовскую -подгруппу . Поскольку  является силовской -подгруппой в  и  – гомоморф, то . В группе  индексы подгрупп ,  и  попарно взаимно просты. Поэтому ввиду -замкнутости  имеем . Лемма доказана.

Лемма 17 Для любого простого  и любой формации нильпотентных групп  класс  является -замкнутой формацией.

Доказательство. По лемме класс -замкнут. По лемме класс -замкнут и по теореме 1.1 является формацией.

Теорема 18 Пусть  – локальная подформация формации ,  – максимальный внутренний локальный экран формации . Если для любого простого  формация -замкнута, , то -замкнута.

Доказательство. Пусть . Ввиду теоремы 3.3 и леммы 4.5, . Формация -замкнута. По лемме формация -замкнута. Теорема доказана.

Теорема Крамер 19 Любая локальная подформация формации  является -замкнутой.

Доказательство. Пусть  – локальная подформация формации .  имеет внутренний локальный -экран . Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Тогда по теореме 3.3 для любого простого  имеет место рав

123	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: