Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о наилучшем использовании ресурсов

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов может выпускать n различных видов продукции (товаров), известных под номерами, обозначаемыми индексами j . Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющими видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Пусть их число равно m, припишем им индекс i . Они ограничены, и их количества равны соответственно условных единиц. Таким образом, - вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчислимая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д.

Примем в качестве такой меры, например, цену реализации (), т.е. - вектор цен. Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Матрицу коэффициентов || || называют технологической матрицей и обозначают А:

.

Обозначим через Х= - план производства, показывающий какие виды товаров нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Так как - цена реализации единицы j-той продукции, цена реализации единиц будет равна , а общий объем реализации:

.

Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.

Так как - расход i-го ресурса на производство единиц j-той продукции, то, просуммировав расход i-го ресурса на выпуск всех n видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить () единиц:

Чтобы искомый план Х= был реален, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции:

, ().

Таким образом, модель задачи о наилучшем использовании ресурсов имеет вид:

Найти:

,

при ограничениях

(),

, ().

Т.к. переменные входят в функцию Z(X) и систему ограничений только в первой степени, а показатели , , являются постоянными в планируемый период, то задача является задачей линейного программирования.