Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Длинная линия без потерь. Волновые уравнения.

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 20Следующая ⇒

Рассмотрим бесконечно малый отрезок длинной линии без потерь.

Рис.3.23. Эквивалентная схема отрезка лини без потерь

Приращение напряжения и тока на отрезке можно представить в виде дифференциалов:

, (3.116)

. (3.117)

Разделим эти приращения на :

, (3.118)

. (3.119)

Два последних выражения являются основными дифференциальными уравнениями линии без потерь. Частные производные обусловлены тем, что ток и напряжение зависят не только от времени, но меняются и по длине линии, т.е. зависят от координаты x.

Продифференцировав обе части первого уравнения по x и обе части второго уравнения по t, получим:

, (3.120)

. (3.121)

Подставляя (3.121) в (3.120), приходим к волновому уравнению для напряжения в линии:

. (3.122)

Дифференцируя уравнение (3.118) по , а уравнение (3.119) по , получим волновое уравнение для тока в линии:

, (3.123)

, (3.124)

. (3.125)

Волновые уравнения для напряжения и тока можно переписать в следующем виде:

, (3.126)

, (3.127)

где - скорость распространения электромагнитной волны в линии.

Из волновых уравнений видно, что изменения напряжения и тока управляются совершенно одинаковыми закономерностями.

Решения волновых уравнений зависят от начальных и граничных условий. Решением волнового уравнения для напряжения является любая функция вида:

, (3.128)

где -дважды дифференцируемая функция.

Решением волнового уравнения для тока будет функция .

Полные решения волновых уравнений имеют вид:

, (3.134)

. (3.135)

Функции связана с функцией следующим соотношением:

, (3.136)

где

(3.137)

- волновое сопротивление линии.

Для линии без потерь волновое сопротивление равно отношению и является чисто активным сопротивлением.

Аналогично

(3.138)

следовательно,

. (3.139)

Таким образом, ток и напряжение в линии представлены в виде суммы прямой и обратной волн, распространяющихся по линии в противоположных направлениях со скоростью . Для воздушной линии эта скорость равна скорости света. В кабельных линиях скорость распространения значительно ниже скорости света. Линия без потерь передаёт волны без затухания и искажений. Эти волны называются бегущими. Итак, отличительное свойство систем с распределенными параметрами состоит в том, что ток и напряжение являются функциями двух переменных и , и описываются уравнениями в частных производных.

Рис.3.24. Прямая и обратная волна в длинной линии.

Если в каком-то сечении бесконечно длинной линии без потерь включить генератор напряжения, создающий импульс, то в линии будут распространяться две волны в противоположных направлениях, как показано на рис.3.24.

Если в начале линии включить генератор гармонической э.д.с. , то напряжение в любом сечении линии также будет гармоническим, поэтому можно записать: и . С учетом этого волновое уравнение для напряжения можно записать в следующем виде:

, (3.140)

где - волновое число.

Решение дифференциального уравнения (3.140) имеет вид:

(3.141)

Второе слагаемое уравнения представляет собой прямую волну напряжения, распространяющуюся вдоль оси вправо от начала линии, а первое слагаемое – обратную волну напряжения, распространяющуюся в противоположном направлении. Постоянные A и B можно определить из граничных условий. При некоторых условиях обратная волна в линии будет отсутствовать. При этом решение уравнения будет представлено только одним слагаемым:

. (3.142)