Длинная линия с потерями. Телеграфные уравнения.
Рассмотрим отрезок dx длинной линии с потерями, представленный на рис. 3.26, погонными параметрами которой являются Рис.3.26. Отрезок длинной линии с потерями.
Приращения напряжения и тока на отрезке линии dx можно представить следующими дифференциальными уравнениями:
Разделив оба уравнения на
Дифференцируя уравнение (3.149) по x, а уравнение (3.150) по t, получим:
Подставив (3.150) и (3.152) в (3.151), получим дифференциальное уравнение второго порядка, называемое телеграфным уравнением для напряжения:
Это уравнение упрощается, если для его коэффициентов выполняется следующее условие, называемое условием Хевисайда:
Это условие можно записать в другом виде:
Отсюда следует:
Подставив (3.156) в телеграфное уравнение (3.153), получим:
Разделив (3.157) на
где: Обозначив
Введем новую переменную u 0, положив Подставив производные в (3.159), получим следующее уравнение для напряжения:
Аналогичное уравнение может быть получено для тока. Таким образом, при выполнении условия Хевисайда телеграфное уравнение приводится к волновому. Это означает, что в линии с потерями может распространяться волна любой формы без искажений. Отличие решения этого уравнения по сравнению с уравнениями для линии без потерь заключается в наличии множителя
30 Прямоугольный волновод Прямоугольный волновод является длинной линией в диапазоне сверхвысоких частот. Прямоугольный волновод представляет собой полую трубу из проводящего материала, служащую для передачи энергии электромагнитной волны, распространяющейся внутри волновода. Если электрический и магнитный векторы
В основе теории волноводов лежат уравнения Максвелла. Для случая, когда диэлектрическая проницаемость ε=1, магнитная проницаемость μ=1 и проводимость σ=0 (это справедливо для воздуха и вакуума), можно записать уравнения Максвелла в векторной форме:
где c – скорость света в вакууме. Для установившегося синусоидального режима:
Найдем
где Подставим значение
Учитывая, что
и
получим:
Аналогичное уравнение можно получить и для вектора напряженности магнитного поля:
Уравнения (3.207) и (3.208) - это векторная форма волновых уравнений. Для перехода от векторной формы уравнений к скалярной выберем прямоугольную систему координат: Запишем уравнение (2.206) в виде трех уравнений для составляющих поля:
Решением этих уравнений являются функции трёх переменных
Это решение подставляется в уравнения (3.209) и эти уравнения интегрируются. В интегралы вводятся граничные условия. Для выяснения граничных условий будем считать, что стенки волновода идеально проводят. Поэтому касательная составляющая вектора
Рис.3.31. к определению граничных условий
Граничные условия запишутся следующим образом:
Считаем, что волновод бесконечно длинный вдоль оси
где Функции
где:
Найдём вторые производные
Подставим производные в первое уравнение (3.209):
Электромагнитная волна в волноводе будет распространяться без затуханий, если постоянная распространения будет мнимой. А это будет при условии:
или
где При этом
При Итак, волновод обладает свойствами фильтра верхних частот: в нём распространяются без затухания волны с частотой выше некоторой граничной частоты
где Из предыдущего выражения следует, что
Подставляя значение
Так как
Поскольку длина волны пропорциональна скорости распространения, то
Отсюда скорость распространения волны в волноводе:
Из этого выражения видно, что скорость распространения волны в волноводе всегда больше скорости света в открытом пространстве. Имеется ввиду фазовая скорость, то есть скорость перемещения в пространстве точек, в которых наблюдается определенная фаза колебаний, например максимум или ноль. Групповая скорость или скорость распространения энергии волны ни при каких обстоятельствах не может превзойти скорость света. Скорость распространения становится равной бесконечности при Критическая длина волны в волноводе равна:
Граничная длина волны имеет порядок периметра сечения волновода. Поэтому волноводы приемлемых размеров могут применяться лишь при очень высоких частотах. Наиболее широкое применение получили волноводы с длиной волны 3 см и 10 см. Волноводы являются составной частью аппаратуры СВЧ. 31
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|