 |
Граничные условия и спектральные коэффициенты рассеивания
|
|
|
|
Из общих трех граничных условий для компонент векторов смещения и стольких же граничных условий для компонент напряжений в условиях рассматриваемой в данном разделе задачи актуальны лишь два граничных условия: равенство суммарных у-компонент смещений (кинематическое) и равенство суммарных касательных 
напряжений (динамическое).
На границе, при z = 0, сумма смещений падающей 
и отраженной 
волн должна быть равна смещению 
проходящей волны:
При подстановке z=0 волновые аргументы всех трех волн равны:
то есть 
, так как t и x - общие время и координата точки границы, а множители при х равны в соответствии с законом Снеллиуса. Поэтому первое граничное условие дает уравнение:
или в спектрах:
.
Обратим внимание на отсутствие в первом уравнении углов падения, отражения и прохождения. Это значит, что уравнение должно быть справедливом при любом угле падения 0 ≤ α ≤ π⁄2.
Динамическое граничное условие требует, чтобы на границе, при z=0, сумма напряжений, создаваемых падающей и отраженной волнами, равнялось напряжению, создаваемому проходящей волной:
.
Используя определения касательных напряжений, получим, подставляя z = 0, второе уравнение:
,
или в спектральной форме после сокращения на jω:
.
Вместе уравнения для смещений и напряжений создают систему из двух уравнений, в которые входят спектры трех волн - отраженной, проходящей и, породившей их, первичной (падающей):
Очевидно, эта система позволяет определить лишь отношения спектров вторичных волн к спектру первичной волны. Так вводятся спектральныекоэффициенты рассеяния:
|
|
|
спектральный коэффициент отражения 
,
спектральный коэффициент прохождения 
.
Как в любой линейной системе, чья спектральная характеристика определена отношением спектра сигнала на выходе к спектру входного сигнала, и в данном случае спектры “выходных сигналов” - отраженной волны (“выход 1”) и проходящей волны (“выход 2”) соотносятся со спектром “входного сигнала" - падающей волны. Поделив уравнения на 
и введя А и В, запишем:
Решая любым способом эту простую систему уравнений, получим определения спектральных коэффициентов рассеивания:
.
Обратим внимание на очень удобную особенность - при любом угле падения коэффициент прохождения В на единицу больше коэффициента отражения А. Произведение скорости на плотность в сейсморазведке называют волновым сопротивлением (или акустической жесткостью): 
Используя определение спектральных коэффициентов рассеивания, можно записать для спектров вторичных волн:
.
Так как В = 1 + А, то при любом угле падения спектры волн связаны соотношением:
.
В том же соотношении находятся и сами сигналы - первичная и вторичные волны:
.
Видно, что всегда проходящая волна представляет собой сумму волн падающей и отраженной. Заметим, что для SH-волн так и должно быть для соблюдения неизменной сплошности всей среды и неразрывности контакта пород на границе.
При нормальном (по перпендикуляру к границе) падении 
и коэффициента рассеивания равны:
.
Очевидно, что условием возникновения отраженной волны служит неравенство волновых сопротивлений, контактирующих на границе сред 
вне зависимости от того, чем это неравенство вызывается - различием скоростей или различием плотностей. Отражающей является граница с различными волновыми сопротивлениями. Могут быть “скоростные" границы, на которых изменяются скорости, могут существовать “плотностные” границы, на которых меняются плотности, и границы обоих типов являются отражающими. Наоборот, граница, на которой 
и 
, но 
, не является отражающей.
|
|
|
В большинстве случаев скорости и плотности пород изменяются согласованно - более плотные породы являются и более всокоскоростными и наоборот. Исключения из этого правила довольно редки. Наиболее яркий пример - граница между залегающими над соляным куполом известняками и каменной солью. Скорость волны в известняках может быть меньше скорости в соли, тогда как плотность соли меньше плотности известняка.
В зависимости от знака неравенства выделяют случаи 
тогда верхняя среда имеет большее волновое сопротивление, чем нижнее, и обратный случай, когда нижняя среда характеризуется большим волновым сопротивлением: 
. В геологическом разрезе из-за статического давление вышележащих пород волновое сопротивление обычно растете с увеличением глубины залегания. Уменьшению его на границе обычно соответствуют границы перерыва в осадконакоплении (границы разрыва).
Проведем последовательный анализ поведения коэффициентов рассеивания А и В вторичных волн при изменении угле падения первичной SH-волны: 0≤ α ≤ π⁄2. Угол α = 0 соответствует нормальному падению волны, угол α = π⁄2 является теоретически возможным пределом изменения угла падения, при котором волна скользит вдоль границы.
|
|
|
