Волны рассеивания при падении SH-волны на кровлю высокоскоростной среды
Нижняя среда - более плотная и имеет большую скорость распространения волны, чем верхняя:.
В соответствии с законом Снеллиуса, угол прохождения всегда больше угла падения и равному ему угла отражения:
где При нормальном падении все косинусы равны единице, коэффициент отражения отрицателен, а коэффициент прохождения меньше единицы. Следовательно, в этом случае отраженная волна противоположна падающей по знаку смещений (отражение с потерей полуволны), а проходящая волна имеет меньшую амплитуду, чем волна падающая:
при α = 0 и A < 0 и
При критическом угле падения
при
Видно, что и при
При дальнейшем увеличении угла падения, когда
синус угле прохождения при закритическом падении становится больше единицы (?!). Это не может быть в области действительных тригонометрических функций. Определим косинус угле прохождения по обычной формуле:
Синусу, большему 1, соответствует чисто мнимый косинус. Встретившись с этой неожиданной трансформацией косинуса, мы, из осторожности, записали оба возможных знака (±) корня. Установим, какой из них имеет физический смысл. Для этого вспомним описание проходящей волны (в волновой аргумент которой и входит
Подставим в последнее определение
Наличие мнимой единицы в определении косинуса выводит зависимость от z из функции запаздывания и превращает ее в амплитудный множитель
при z → ∞
Физически это абсолютно невозможно, поэтому из двух знаков мнимого косинуса следует выбрать минус: Однако, спектр импульсного сигнала определен на всем бесконечном интервале частот: - ∞ ≤ ω ≤ ∞ и в волновом импульсе присутствуют как гармоники с положительными частотами, так и гармоники с ω < 0. Знак минус в определении
Чтобы обеспечить затухание всего спектра волны
где sgn (ω) - знаковая функция частоты:
В таком определении амплитудный множитель Обратим внимание на то, что с ростом абсолютного значения частоты ω затухание ускоряется - чем выше частота гармоники, тем быстрее она затухает с ростом z. В функции запаздывания спектра проходящей волны Неоднородные плоские волны играют главенствующую роль в образовании преломленной (головной) волны, которую рассмотрим несколько позже в отдельном разделе. Здесь подчеркнем одно - все особенности неоднородной волны выявлены в результате анализа лишь волнового аргумента проходящей волны при закритическом падении плоской волны на границу раздела. Вид самой волновой функции Итак, установлено, что при
Коэффициенты рассеивания А и В в этом случае описываются выражениями:
Знаком тождества подчеркнута комплексная зависимость коэффициентов рассеивания от частоты, оправдывающая введенное ранее определение А и В как спектральных коэффициентов рассеивания. В числителе и знаменателе дроби, определяющей А - комплексно-сопряженные выражения:
и не зависит ни от частоты, ни от угла падения. Фазово-частотный коэффициент отражения как аргумент дроби с комплексно-сопряженными числителем и знаменателем, равен:
Действительная realA и мнимая imageA части спектрального коэффициента отражения (СКО) равны:
где
Используя формулы косинуса и синуса двойного угла (
Действительная часть СКО не зависит от частоты, а зависимость мнимой части от нее задается множителем в виде знаковой функции частоты. Обе части СКО являются функциями угла падения. Спектральная характеристика отражения обладает всеми свойствами устойчивой линейной системы - четными амплитудно-частотной характеристикой (модулем СКО) и действительной части СКО, и нечетными фазово-частотной характеристикой (аргументом СКО) и мнимой частью СКО. При этом, четность обеспечивается отсутствием зависимости
Спектр отраженной волны разделяется на два слагаемых:
В первом слагаемом присутствует спектр первичной волны с амплитудным множителем (весом) ReA (α), независимым от частоты и меняющимся с увеличением угла падения. Во втором слагаемом - произведение двух частотно-зависимых функций - знаковой
Так как преобразование Фурье - линейная операция, сам отраженный сигнал также является взвешенной суммой Фурье-трансформант слагаемых своего спектра:
Здесь В теории спектров рассматривалась знаковая функция времени sgn (t) и ее спектр:
Аналогично определяется обратное Фурье-преобразование знаковой функции частоты:
Здесь появился знак минус как следствие противоположных знаков ядер прямого ( Тогда отраженный сигнал может быть описан выражением:
Сокращая мнимую единицу и раскрывая символьную запись свертки, получим описание отраженного сигнала при углах падения, превышающих критический угол:
В скобках записано обратное Гильберт-преобразование функции u (t), описывающей первичную волну:
Таким образом, отраженный сигнал за критическим углом падения представляется взвешенной суммой падающего сигнала u (t) и его Гильберт-трансформанты
Веса слагаемых - ReA (α) и ImA (α) - изменяются при увеличении угла падения. Соответственно, изменяется по форме и суммарный отраженный сигнал Проведем анализ зависимости от угла падения α весовых множителей ReA (α) и ImA (α) и структуры суммарной отраженной волны при изменении α от критического угла Как только угол падения превысит критический угол, ReA (α) стремительно уменьшается, а мнимая часть ImA (α) столь же быстро возрастает. Доля первичного сигнала в суммарной отраженной волне быстро уменьшается, и так же быстро растет доля Гильберт-трансформанты падающей волны. При некотором угле падения
при α =
Отраженный сигнал представлен только Гильберт-трансформантой первичной волны:
Синус его равен:
и не намного превышает Дальнейшее увеличение угла падения (α > В пределе, при С увеличением угла падения при
При этом отраженный сигнал повторяет по форме и амплитуде колебаний падающую волну с инвертированным знаком смещений. Напомним, что такой же предел был выявлен и в случае Анализ закритических изменений спектрального коэффициента прохождения В и вызванных ими трансформаций неоднородных плоских волн Для комплексных коэффициентов рассеивания А = ReA + jImA; B = ReB + jImB имеем:
ReB + jImB = 1 + ReA + jImA.
Видно, что А и В имеют действительные части, различающиеся на единицу, и равные мнимые части:
ReB = 1 + ReA; ImB = ImA.
Напомним, что связь между А и В получена из первого граничного условия (для упругих смещений):
В соответствии с ним, при любых соотношениях физических свойств контактирующих на границе сред и при любом угле падения первичной SH-волны при z = 0 проходящая волна Поэтому все трансформации отраженной волны в закритической зоне входят составной частью в изменения проходящей волны. Вне зависимости от угла падения в этой волне всегда присутствует “постоянная" составляющая - первичная, падающая на границу волна, по предположению, не меняющаяся с изменением угла падения. В заключение приведем цифровые оценки особых углов падения
Это - довольно “сильная” отражающая граница. Ей может соответствовать, например, граница между обводненной верхней средой (где скорость S-волны резко уменьшена) и “сухим” нижним полупространством. При нормальном падении (α = 0) SH-волны коэффициенты рассеивания равны:
Отраженная волна имеет амплитуду, в четыре раза меньшую амплитуды первичной волны, и инвертирована по знаку смещения. Проходящая волна ослаблена по амплитуде на четверть в сравнении с падающей волной. Для выбранных параметров сред определим отношения волновых сопротивлений угол
критический угол
угол
Как видно из этих оценок, зона наибыстрейшего и наибольшего изменения спектральных коэффициентов рассеивания (СКР) и вторичных волн весьма узка: Вне зоны ( С увеличением различия свойств контактирующих на границе сред все особые точки (
Рис.10 Описание изменений СКР SH-волны иллюстрирует (рис.10), на котором построены графики Импульсоиды вторичных волн соответствуют углам падения, отмеченным на шкале оси абсцисс стрелками. В заключение анализа отметим, что угол падения α определяет удаление х точки приема Р от точки возбуждения 0 (рис.11). Тангенс этого угла равен отношению половины удаления х/2 к эхо-глубине границы h:
Рис.11
Приведем оценки x/h, соответствующие особым углам для выбранных ранее параметров сред:
при при при
Добавим еще оценку границы ближней зоны:
при
Таким образом, область наибольшей стабильности отраженной волны не превышает половины эхо-глубины границы. Наибольшие изменения этой волны начинаются на удалениях, в полтора раза превышающих глубину. В промежуточной зоне с ростом х изменения отраженной волны становятся все более существенными и заметными. II. Расчётная часть
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|