 |
Подбор подходящего закона распределения вероятностей
|
|
|
|
Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как равномерное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.
Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно равномерное.
Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 11).
Определим параметры равномерного (a и b), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение), экспоненциального и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:
, 
, 
, 
, 
B5 = 1/A2;
B8 = A2-В2*КОРЕНЬ(3);
B9 = А2+В2*КОРЕНЬ(3);
B12 = (A2/B2)^2;
B13 = B2^2/A2;
B16 = (A2/B2)^2;
B17 = B2^2/A2.
Таблица 11 – Значения плотностей распределения
| A | B | C | D | E | F | |||
| 1 | Матем. ожидание | Ср. кв. отклон. |
|
|
| |||
| 2 | 100,0892 | 10,0367 |
|
|
| |||
| 3 |
|
|
|
|
| |||
| 4 | Параметры экспоненциального распределения |
|
|
| ||||
| 5 | λ | 0,0100 |
|
|
| |||
| 6 |
|
|
|
|
| |||
| 7 | Параметры равномерного распределения |
|
|
| ||||
| 8 | а | 82,7050 |
|
|
| |||
| 9 | b | 117,4735 |
|
|
| |||
| 10 |
|
|
|
| ||||
| 11 | Параметры нормального распределения
|
|
| |||||
| 12 | m | 100,0893 |
|
|
| |||
| 13 | σ | 10,0367 |
|
|
| |||
| 14 |
|
|
|
|
| |||
| 15 | Параметры гамма-распределения | |||||||
| 16 | α | 99,4454 |
|
|
| |||
| 17 | β | 1,0065 |
|
|
| |||
| 18 |
|
|
|
|
| |||
| 19 | Середина | Плотность относит. частот | Плотность экспоненц. распред. | Плотность нормал. распред. | Плотность гамма- распред. | Плотность равномер. распред. | ||
| 20 | 82 | 0,0223 | 0,0044 | 0,0078 | 0,0076 | 0 | ||
| 21 | 86 | 0,0089 | 0,0042 | 0,0148 | 0,0156 | 0,0287 | ||
| 22 | 90 | 0,0267 | 0,0041 | 0,0240 | 0,0257 | 0,0287 | ||
| 23 | 94 | 0,0401 | 0,0039 | 0,0331 | 0,0349 | 0,0287 | ||
| 24 | 98 | 0,0312 | 0,0038 | 0,0389 | 0,0397 | 0,0287 | ||
| 25 | 102 | 0,0312 | 0,0036 | 0,0390 | 0,0383 | 0,0287 | ||
| 26 | 106 | 0,0446 | 0,0035 | 0,0334 | 0,0317 | 0,0287 | ||
| 27 | 110 | 0,0178 | 0,0033 | 0,0244 | 0,0229 | 0,0287 | ||
| 28 | 114 | 0,0044 | 0,0032 | 0,0152 | 0,0145 | 0,0287 | ||
| 29 | 118 | 0,0223 | 0,0031 | 0,0081 | 0,0081 | 0 | ||
В ячейках В20:В29 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.
Плотности равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:
С20 = ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);
D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);
E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).
F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));
Затем копируем их в блок ячеек С21:F21.
После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 11- 13.
Рисунок 11 – Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения
Рисунок 12 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 13 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Рисунок 14 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Используя критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).
|
|
|
Для применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi – теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai-1,ai].
Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai) – F(ai-1).
Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для экспоненциального распределения:
D35 = ЭКСПРАСП (B35; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А35; $B$5; ИСТИНА);
Для равномерного распределения:
D65 = ЕСЛИ (B65<$B$8; 0; ЕСЛИ (B65<=$B$9; (B24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1)) – ЕСЛИ (A24<$B$8; 0; ЕСЛИ (A24<=$B$9; (A24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1));
Для нормального распределения:
D45 = НОРМРАСП (В45; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А45; $B$12; $B$13; ИСТИНА);
Для гамма-распределения:
D55 = ГАММАРАСП (В55; $B$16; $B$17; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А55; $B$16; $B$17; ИСТИНА).
В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е35 = (С35-56*D35)^2/(56*D35), которая копируется в другие ячейки колонки Е.
После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е43 = СУММ(E35:E42);
Е53 = СУММ(E45:E52);
Е63 = СУММ(Е55:Е62);
Е73 = СУММ(Е65:Е72).
Которые равны соответственно 349,8344; 14,8995; 15,1459; 16,7324.
Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2выч достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2кр, которое определяется по распределению χ2 в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1.
где k’ – количество интервалов после объединения;
s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.
В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 5
Критическое значение рассчитывается по формуле:
|
|
|
Е74 = ХИ2ОБР(0,05;5), из таблицы 12 видно, оно равно 16,7496.
Поскольку 16,7324<16,7496, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют равномерное распределение с параметрами a = 82,7050 и b = 117,4735 соответственно.
Таблица 12 – Подбор распределения на основе критерия χ2
| А | B | С | D | E | |
| 33 | Левая граница | Правая граница | Частота | Вероятности | χ² |
| 34 |
|
|
| Экспоненциальное распределение |
|
| 35 | 80 | 84 | 5 | 0,0176 | 16,3293 |
| 36 | 84 | 92 | 8 | 0,0331 | 20,2945 |
| 37 | 92 | 96 | 9 | 0,01562 | 75,4446 |
| 38 | 96 | 100 | 7 | 0,01501 | 45,1229 |
| 39 | 100 | 104 | 7 | 0,01442 | 47,4663 |
| 40 | 104 | 108 | 10 | 0,01385 | 109,6166 |
| 41 | 108 | 116 | 5 | 0,02611 | 8,5589 |
| 42 | 116 | 120 | 5 | 0,01229 | 27,0014 |
| 43 | Сумма | 349,8344 | |||
| 45 |
|
|
| Нормальное распределение |
|
| 46 | 80 | 84 | 5 | 0,0317 | 5,8201 |
| 47 | 84 | 92 | 8 | 0,1556 | 0,0590 |
| 48 | 92 | 96 | 9 | 0,1317 | 0,3576 |
| 49 | 96 | 100 | 7 | 0,1546 | 0,3175 |
| 50 | 100 | 104 | 7 | 0,1551 | 0,3280 |
| 51 | 104 | 108 | 10 | 0,1331 | 0,8698 |
| 52 | 108 | 116 | 5 | 0,1588 | 1,7057 |
| 53 | 116 | 120 | 5 | 0,03281 | 5,4419 |
| 54 | Сумма | 14,8995 | |||
| 55 |
|
|
| Гамма-распределение |
|
| 56 | 80 | 84 | 5 | 0,0310 | 6,1243 |
| 57 | 84 | 92 | 8 | 0,1652 | 0,1697 |
| 58 | 92 | 96 | 9 | 0,1388 | 0,1927 |
| 59 | 96 | 100 | 7 | 0,1576 | 0,3788 |
| 60 | 100 | 104 | 7 | 0,1522 | 0,2729 |
| 61 | 104 | 108 | 10 | 0,1265 | 1,1969 |
| 62 | 108 | 116 | 5 | 0,1497 | 1,3685 |
| 63 | 116 | 120 | 5 | 0,03281 | 5,4421 |
| 64 | Сумма | 15,1459 | |||
| 65 |
|
|
| Равномерное распределение |
|
| 66 | 80 | 84 | 5 | 0,03727 | 4,0719 |
| 67 | 84 | 92 | 8 | 0,2300 | 1,8522 |
| 68 | 92 | 96 | 9 | 0,1150 | 1,0151 |
| 69 | 96 | 100 | 7 | 0,1150 | 0,0482 |
| 70 | 100 | 104 | 7 | 0,1150 | 0,0482 |
| 71 | 104 | 108 | 10 | 0,1150 | 1,9643 |
| 72 | 108 | 116 | 5 | 0,2300 | 4,8254 |
| 73 | 116 | 120 | 5 | 0,0423 | 2,9070 |
| 74 | Сумма | 16,7324 | |||
| 75 | Критическое значение критерия | 16,74960237 | |||
|
|
|
