Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).

Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X Y, что g│_A =f│_A и, более того, f~g relA.

Поясним запись f~g relA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h : Х  Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что h_t (а) не зависит от t при а  А. Конечно, из f~ g relА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I S , f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0 1).

Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку е^р X - А. Ее образ f (e^p) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f ( ^p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, , dim = q. Если q≤ р, то нам с клеткой е^р делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства R^p и : U  IntD^q - такое непрерывное отображение, что множество V =  (d^q) U, где d^q - некоторый замкнутый шарик в IntD , компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение : U  Int D^q, совпадающее с  вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара d^q.

Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение  автоматически будет гомотопным  относительно U - V: достаточно взять связывающую  с  "прямолинейную" гомотопию, при которой точка  (u) равномерно движется к  (u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему  (u) с  (u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│  гомотопно rel (A X ) отображению f’: A  X  е ^р Y, такому, что f’ (e^p) задевает те же клетки, что и f (e ^р), но заведомо f’ (e^p) не содержит всю клетку . В самом деле, пусть h: D^p Х, k: D^p Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам е^р, . Положим U= h (f  ()  е^р) и определим отображение : U  Int D^q как композицию:

u  x  y  =  (u)

U e f  ()  Int D^q Обозначим через d^q (замкнутый) концентрический подшар шара D^q. Множество V=  (d^q) компактно (как замкнутое подмножество шара D^p). Пусть : U  IntD^q - отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию

x  u  y = f’ (x)

h (U) U Int D^q Y

на h (U). Ясно, что отображение f’ непрерывно (оно совпадает с f на "буферном множестве" h (U - V)) и гомотопно f│ rel (A X ), и даже rel (A X  (e -h (V)))) (это вытекает из гомотопности ~  rel (U - V)). Ясно также, что f' (e^p) не покрывает e^q.

Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A  Х  гомотопию между f│  и f' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и это позволяет считать, что отображение f', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у₀ , не принадлежащую f’ (е^р), и подвергаем f'│  "радиальной гомотопии": если точка x e^p не принадлежит f’  (),To f' (x) стоит на месте, а если f' (x) , то f’ (x) движется по отрезку, идущему из точки у₀ на границу клетки  (точнее говоря, по k-образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точке k  (у₀) проходящего через точку k  (f’ (x))  k  (у₀) и кончающегося на граничной сфере S шара D^q). Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображения f'│  (неподвижной вне е^р) и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображения f’: Х Y. Получающееся отображение f’’ гомотопно f ге1 (A Х ) и обладает тем свойством, что f’’ (e^p) задевает q-мерных клеток на одну меньше, чем f (е ^р) (и, как и f (e^p), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображение f к отображению, клеточному на A Х e^p, причем гомотопия будет неподвижной на A Х .

Теперь заметим, что "исправление" отображения f, которое мы проделали для клетки е^р, можно дословно так же проделать одновременно для всех р-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению, клеточному на A Х^р и гомотопному f rel (A Х ).

Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение f с клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1,2,... Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 - 2 ≤t≤ 1 - 2 . Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого t_e < 1. Теорема доказана.