 |
Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
|
|
|
|
Пусть изучается случайная величина X с математическим ожиданием 
и дисперсией DX, причем оба параметра неизвестны.
Статистика, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется ее точечной оценкой. То есть точечная оценка характеристики генеральной совокупности - это число, определяемое по выборке.
Пусть 
- выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений за случайной величиной X. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин , перепишем их в виде 
, т.е. под 
будем понимать значение случайной величины Х i- м опыте. Случайные величины можно рассматривать как n независимых компонент величины X. Поэтому 
, 
.
Теорема 9.2. Пусть - выборка из генеральной совокупности и 
, 
, 
. Тогда выборочное среднее 
- несмещенная и состоятельная оценка математического ожидания MX.
Доказательство. Найдем математическое ожидание оценки 
:
.
Отсюда по определению получаем, что - несмещенная оценка MX. Далее, согласно теореме Чебышева, для любого 
имеет место равенство 
,
которое, согласно условию теоремы, можно переписать так:
или, что то же самое, 
. Согласно определению получаем, что - состоятельная оценка MX.
Можно показать, что при нормальном распределении случайной величины X эта оценка, т.е. , будет и эффективной. На практике во всех случаях в качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое, т.е. .
В статистике оценку математического ожидания принято обозначать через 
или , а не 
.
Имеет место равенство (вывод равенства мы опускаем)
 .
| (9.2) |
Из равенства (9.2) следует, что 
, т.е. выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии DX. Поэтому выборочную дисперсию исправляют, умножив ее на 
, получая формулу 
.
|
|
|
Теорема 9.3. Пусть - выборка из генеральной совокупности и , . Тогда исправленная выборочная дисперсия 
- несмещенная состоятельная оценка дисперсии DX.
Примем без доказательства состоятельность оценки 
. Докажем ее несмещенность.
Доказательство. Имеем
,
т.е. 
. Отсюда по определению получаем, что - несмещенная оценка DX.
Отметим, что при больших значениях n разница между 
и очень мала и они практически равны, поэтому оценку используют для оценки дисперсии при малых выборках, обычно при n ≤ 30.
Теорема 9.4. Относительная частота 
появления события А в n независимых испытаниях является несмещенной состоятельной и эффективной оценкой неизвестной вероятности 
этого события (р - вероятность наступления события А в каждом испытании).
Отметим, что состоятельность оценки 
непосредственно вытекает из теоремы Бернулли.
Теорема 9.5. Эмпирическая функция распределения выборки 
является несмещенной состоятельной оценкой функции распределения 
случайной величины X.
Пример 9.1. Монету подбрасывают n раз. Вероятность выпадения герба при каждом подбрасывания равна 
. В ходе опыта монета выпала гербом 
раз. Показать несмещенность оценки 
вероятности 
выпадения герба в каждом опыте.
Решение:
Число успехов () имеет распределение Бернулли. Тогда
, 
.
Следовательно,
,
т.е. оценка 
- несмещенная.
Методы нахождения точечных оценок
Рассмотрим наиболее распространенные методы получения точечных оценок параметров распределения: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.
Метод моментов
Метод моментов для нахождения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденных по выборке.
|
|
|
Так, если распределение зависит от одного параметра 
(например, задан вид плотности распределения 
), то для нахождения его оценки надо решить относительно одно уравнение:
- есть функция от .
Если распределение зависит от двух параметров (например, вид плотности распределения 
) - надо решить относительно 
и 
систему уравнений:
И, наконец, если надо оценить n параметров 
- надо решить одну из систем вида:
или 
Метод моментов является наиболее простым методом оценки параметров. Он был предложен в 1894 г. Пирсоном. Оценки метода моментов обычно состоятельны, однако их эффективность часто значительно меньше единицы.
Пример 9.2. Найти оценки параметров нормального распределения случайной величины X методом моментов.
Решение:
Требуется по выборке 
найти точечные оценки неизвестных параметров 
и 
.
По методу моментов приравниваем их, соответственно, к выборочному среднему и выборочной дисперсии (
- начальный момент I порядка, 
- центральный момент II порядка). Получаем
т.е. 
Итак, искомые оценки параметров нормального распределения:
и 
.
|
|
|
