Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
Пусть изучается случайная величина X с математическим ожиданием Статистика, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется ее точечной оценкой. То есть точечная оценка характеристики генеральной совокупности - это число, определяемое по выборке. Пусть
Теорема 9.2. Пусть Доказательство. Найдем математическое ожидание оценки Отсюда по определению получаем, что
которое, согласно условию теоремы, можно переписать так:
или, что то же самое,
Можно показать, что при нормальном распределении случайной величины X эта оценка, т.е. В статистике оценку математического ожидания принято обозначать через Имеет место равенство (вывод равенства мы опускаем)
Из равенства (9.2) следует, что
Теорема 9.3. Пусть Примем без доказательства состоятельность оценки Доказательство. Имеем
т.е.
Отметим, что при больших значениях n разница между Теорема 9.4. Относительная частота
Отметим, что состоятельность оценки
Теорема 9.5. Эмпирическая функция распределения выборки Пример 9.1. Монету подбрасывают n раз. Вероятность выпадения герба при каждом подбрасывания равна Решение: Число успехов (
Следовательно,
т.е. оценка Методы нахождения точечных оценок Рассмотрим наиболее распространенные методы получения точечных оценок параметров распределения: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.
Метод моментов
Метод моментов для нахождения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденных по выборке.
Так, если распределение зависит от одного параметра
Если распределение зависит от двух параметров (например, вид плотности распределения И, наконец, если надо оценить n параметров
Метод моментов является наиболее простым методом оценки параметров. Он был предложен в 1894 г. Пирсоном. Оценки метода моментов обычно состоятельны, однако их эффективность часто значительно меньше единицы.
Пример 9.2. Найти оценки параметров нормального распределения случайной величины X методом моментов. Решение: Требуется по выборке По методу моментов приравниваем их, соответственно, к выборочному среднему и выборочной дисперсии (
Итак, искомые оценки параметров нормального распределения:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|