 |
Раздел 9. Функции нескольких переменных
|
|
|
|
Программа дисциплины
Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
1.1. Система координат на плоскости, основные понятия
Числовая ось. Декартовая прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
1.2. Линия на плоскости. Прямая
Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение пучка прямых. Расстояние от точки до прямой. Нормальное уравнение прямой. Геометрический смысл неравенства и системы неравенств первой степени с двумя неизвестными.
1.3. Кривые второго порядка
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Дробно-линейная функция.
Раздел 2. Элементы линейной алгебры
2.1. Матрицы
Матрица, её размерность. Виды матриц: диагональная, симметрическая, единичная. Операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матриц. Свойства операций над матрицами.
2.2. Определители матриц
Определители квадратных матриц различных порядков. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Алгоритм Гаусса, вычисления определителя п- го порядка. Разложение определителя по элементам строки (столбца).
2.3.. Системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений и её решение. Системы однородные и неоднородные, совместные и несовместные, определённые и неопределённые. Эквивалентные системы. Системы с базисом, канонические системы. Методы решения систем уравнений. Метод Крамера. Обратная матрица. Матричный метод. Метод Жордана – Гаусса.
|
|
|
Раздел 3. Элементы векторной алгебры
3.1. Векторы. Векторная алгебра
Векторы в R2 и R3. Действия над векторами: сложение векторов, умножение на число, скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами.
3.2. Векторное пространство Rn
N -мерный арифметический вектор. Размерность и базис векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Переход к новому базису.
Раздел 4. Функции одной переменной
4.1. Числовые множества
Понятие множества. Операции над множествами.
4.2. Функция одной переменной
Определение функции одной переменной. Способы задания. Монотонные функции. Ограниченные и неограниченные функции. Чётные и нечётные функции. Сложная функция. Обратная функция. Основные элементарные функции(область определения, график, характеристики поведения). Примеры поведения элементарных функций в экономике (функция спроса, предложения, издержек и т.д.)
Раздел 5. Теория пределов
5.1. Предел числовой последовательности
Числовая последовательность (определение, обозначение, способы задания). Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация предела. Теоремы об единственности предела, об ограниченности сходящейся последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины (последовательности), связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь сходящихся последовательностей с бесконечно малым (второе определение предела последовательности). Арифметические операции над последовательностями. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Достаточное условие сходимости монотонной последовательности.
5.2. Предел функции
Предел функции (на языке последовательности). Раскрытие неопределённостей различных видов. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые.
|
|
|
Раздел 6. Непрерывные функции
Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке. Приращение функции. Второе определение непрерывности функции в точке.
Раздел 7. Дифференциальные исчисления
7.1 Производная функции одной переменной
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Уравнение касательной. Производная как показатель мгновенного прироста или скорости изменения функции. Простейшие предельные характеристики из экономического анализа (предельная выручка, предельный доход, предельные издержки, предельная прибыль...) Эластичность функции и её свойства.
Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.
7.2. Дифференциал функции одной переменной
Дифференциал функций, его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Раздел 8. Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя. Признак постоянства функции. Необходимое и достаточное условие монотонности.
8.2. Экстремум функции одной переменной
Экстремум функции одной переменной. Достаточные условия монотонности (первое и второе). Наибольшее и наименьшее значение функции. Задачи на экстремум с экономическим содержанием.
Выпуклость, вогнутость функции y=f(x). Точки перегиба. Асимптоты функции. Схема исследования функции.
Раздел 9. Функции нескольких переменных
9.1. Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных (основные определения). Функция двух переменных. График функции двух переменных. Линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные приращения. Частные производные. Полное приращение. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
9.2. Экстремум функции двух переменных
Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов. Производная по направлению. Градиент функции. Понятие о градиентных методах в задачах оптимизации.
|
|
|
