 |
Тема 2. Элементы линейной алгебры
|
|
|
|
Системы линейных уравнений
Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. 
(2.1)
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Систему уравнений (2.1) можно представить в матричном виде 
, где 
− основная матрица системы,состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных; 
− матрица-столбец неизвестных 
; 
− матрица-столбец свободных членов системы.
Исходную систему уравнений (2.1) можно представить в матричном виде , где − основная матрица системы,состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных, причём матрица квадратная(содержит одинаковое число строк и столбцов); − матрица-столбец неизвестных ; − матрица-столбец свободных членов системы: 
.
Если матрица 
невырожденная, т.е. определитель матрицы отличен от нуля 
, то исходная система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формуле 
, (2.2) где 
− обратная матрица к матрице .
Определитель третьего порядка матрицы вычисляется по формуле
Обратная матрицанаходится по формуле 
. (2.3)
Алгебраические дополнения 
элементов 
матрицы находятся по формуле 
, где 
– минор элемента матрицы , представляющий собой определитель, полученный из основного 
вычёркиванием 
- й строки и 
- го столбца.
Пример 5
Решить систему уравнений матричным методом 
Решение: 
Матричный вид данной системы уравнений: 
Вычислим определитель матрицы А. 
Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная, для неё существует обратная матрица A-1.
Вычислим алгебраические дополнения 
для каждого элемента 
основной матрицы.
Таким образом, имеем следующую обратную матрицу:
Тогда матричное решение исходной системы 
имеет вид:
|
|
|
Проверка:
Подставим найденные числа вместо переменных 
в исходную систему уравнений 
Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.
Ответ: 
.
Метод Крамера
Рассмотрим решение системы (2.1) с помощью формул Крамера 
Дополнительные определители 
получаются из основного Δ, если в нём заменить соответственно первый, второй, … n-й столбец на столбец свободных членов системы.
Таким образом, для решения системы (2.1) с учетом уже введённых обозначений, дополнительные определители будут иметь вид:
Пример 6 Решить систему уранений, рассмотренную в примере 5, по правилу Крамера.
Тема 3. Теория пределов
Предел функции
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
.
Определение. Число называется пределом функции 
в точке (или при 
), если для любого, сколь угодно малого положительного числа 
найдётся такое положительное число 
, зависящее от 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, 
выполняется неравенство 
.
Этот предел функции обозначается: 
или ƒ(х)→А при х→х0.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: если существуют 
и 
, то
1) 
; (3.1)
2) 
; (3.2)
3) 
; (3.3)
4) 
(при 
). (3.4)
Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х0, или при х→∞, если её предел равен нулю 
Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х0 (или при х→х0), если имеет место одно из равенств: 
.
Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций): если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х0, то 
─ бесконечно большая функция при х→х0, и наоборот.
Первый замечательный предел 
. (3.5)
Второй замечательный предел 
. (3.6)
Пример 7 Найти предел 
Решение: Поскольку функция непрерывна в точке 
, искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим
|
|
|
Пример 8 Найти предел 
Решение: При 
числитель 
стремится к пяти 
(т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель 
– к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е.
В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределённостями: 
, 
, 
, 
.
Пример 9 Найти предел 
Решение: При 
числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида 
. Чтобы раскрыть неопределённость вида , необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель 
.
Пример 10 Найти предел 
Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента 
приводит к неопределённости вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение 
. 
.
Пример 11 
.
Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеет место неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х2 ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:
Пример 12
Найти предел 
Решение: Приведём дроби к общему знаменателю:
Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределённость вида 
. Раскрывая эту неопределённость, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень , т. е. на 
:
Пример 13 Найти предел 
Решение: При 
, а показатель степени 
стремится к 
, следовательно, имеем неопределённость вида 
.
Представим дробь в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины: 
. 
Применим второй замечательный предел (3.6).
|
|
|
