 |
Колебания систем со многими степенями свободы
|
|
|
|
Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как было рассмотрено в одномерных колебаниях.
Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат qi (i = 1, 2,.,., s) имеет минимум при q i = q i 0. Вводя малые смещения
xi = q i – q i 0 (3,1)
и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы
(3, 2)
где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты kik и kki входят в (3, 2) умноженными на одну и ту же величину xi xk,то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам
В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид
полагаем в коэффициентах q i = q i 0 и, обозначая постоянные aik (qo) посредством m ik,получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы
(3,3)
Коэффициенты m lk тоже можно всегда считать симметричными по индексам
m ik = m ki
Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:
(3, 4)
Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа
Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i;учитывая при этом симметричность коэффициентов m ik и k ik, получим:
Отсюда видно, что
Поэтому уравнения Лагранжа
(3,5)
Они представляют собой систему s(i = l, 2, …, s)линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
|
|
|
По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk (t)в виде
(3,6)
где А k — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (3,6) в систему (3,5), получаем по сокращении на 
систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные А k:
(3,7)
Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель
(3,8)
Уравнение (3,8)—так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω2. Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω² a,
а =1, 2, …, s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины ω а называются собственными частотами системы.
Вещественность и положительность корней уравнения (3,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат х k (3,6) (а с ними и скоростей xk)экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии E=U+T системы в противоречии с законом ее сохранения.
В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (3,7) на 
и просуммировав затем по i,получим:
откуда
Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов k ik и m ik,действительно,
Они также существенно положительны, а потому положительно и ω2.
После того как частоты ω а найдены, подставляя каждое из них в уравнения (3,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов А k. Если все корни ω а характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты A k пропорциональны минорам определителя (3,8),в котором ω заменена соответствующим значением ω а, обозначим эти миноры через ∆ ka. Частное решение системы дифференциальных уравнений (3,5) имеет, следовательно, вид
|
|
|
где Са — произвольная (комплексная) постоянная.
Общее же решение дается суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде
(3,9)
Где мы ввели обозначение
(3,10)
Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение s простых периодических колебаний
Θ1, Θ2, …, Θs с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (3,9) указывает путь к решению этой задачи.
В самом деле, рассматривая s соотношений (3,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Θа, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Θ1, Θ2, …, Θs через координаты x1, x2,..., x s. Следовательно, величины Θа можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.
Нормальные координаты Θа удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям
(3,11)
Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.
Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот ω а, т. е. имеет вид
|
|
|
(3,12)
где та — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (3,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (3,3) и потенциальная (3,2) — одновременно приводятся к диагональному виду.
Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь Qa) равенствами
(3.13)
Тогда
Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (3,9), (3,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты ∆ k а уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.
Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ω а)входят в виде одинаково преобразующихся сумм 
можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.
Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U (x, y, z), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z, а кинетическая энергия
(т — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей.
Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда
(3,14)
и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами
|
|
|
В частном случае центрально-симметричного поля (k 1= k 2= k 3= k, U = kr ²/2) эти три частоты совпадают.
Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид
(3,15)
где L0 — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат х k нормальные координаты, получим:
(3.16)
где введено обозначение
Соответственно уравнения движения
будут содержать лишь по одной неизвестной функции Q a (t).
Затухающие колебания
До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.
Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т. е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики.
Существует, однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости.
Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости. Таким образом, обобщенную силу трения fтр, действующую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой х, можно написать в виде
где а — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим:
|
|
|
(4.1)
Разделим его на m и введем обозначения
(4.2)
ω0 есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина λназывается коэффициентом затухания. Таким образом, имеем уравнение
(4.3)
Следуя общим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем х — ert и находим характеристическое уравнение
Общее решение уравнения (4.3) есть
Здесь следует различать два случая.
Если λ < ω0, то мы имеем два комплексно сопряженных значения r. Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как
где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать:
(4.4)
где а и α— вещественные постоянные. Выражаемое этими формулами движение представляет собой так называемые затухающие колебания. Его можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем λ, а “частота’’ ω колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при λ<<ω0 разница между ω и ω0— второго порядка малости. Уменьшение частоты при трении следовало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение.
Если λ<<ω0, то за время одного периода 2π/ω амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя е-λ t. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны е-2λ t. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону
(4.5)
где Е0 — начальное значение энергии.
Пусть теперь λ > ω0. Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения
(4.6)
Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |x|, т. е. в асимптотическом (при t → ∞) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием.
Наконец, в особом случае, когда λ = ω0, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень r = ― λ. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид
(4.7)
Это — особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательного характера.
Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам xi, являются линейными функциями скоростей вида
(4.8)
Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов а ik по индексам i и k. Методами же статистической физики можно показать, что всегда
aik = a ki. (4.9)
Поэтому выражения (4.8) могут быть написаны в виде производных
(4.10)
от квадратичной формы
(4.11)
называемой диссипативной функцией.
Силы (4.10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа
(4.12)
Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем:
Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенства равна 2 F. Таким образом,
(4.13)
т е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F > 0, т. е. квадратичная форма (4.11) существенно положительна.
Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (4.8) в правую сторону уравнений (3.5):
(4.14)
Положив в этих уравнениях
xk = Akert,
получим по сокращении на ert систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ak
(4.15)
Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения r:
(4.16)
Это — уравнение степени 2s относительно r. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.
|
|
|
