Коэффициент корреляции и его свойства

Мера зависимости между вариационными рядами характеризуется коэффициентом корреляции. Для линейной корреляционной зависимости угловые коэффициенты прямых регрессии выражаются через коэффициент корреляции, который определяется по формуле Пирсона:

,

где - коэффициент корреляции

х_i, y_i – значения параметров в i -том наблюдении

n – число наблюдений

- средние значения параметров х и у для n проведённых

наблюдений.

или:

где - генеральные средние квадратические отклонения,

k_{х,у ­}- называется корреляционным моментом или ковариацией.

Коэффициент корреляции показывает долю рассеяния величины х под влиянием у (и наоборот).

 

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Величина коэффициента корреляции всегда заключена в пределах:

1. Если r<0, то с увеличением в вариационном ряду наблюдаемых значений х соответствующие им значения у вариационного ряда уменьшаются.

2. Если r>0, то с увеличением одного параметра другой параметр в среднем возрастает.

3. Если r=0, то параметры х и у абсолютно независимы друг от друга.

4. Если r=1, то между параметрами х и у существует прямо пропорциональная функциональная зависимость.

5. Чем больше по абсолютной величине , тем сильнее проявляется связь между х и у, тем ближе эта зависимость к функциональной и тем значительнее влияние х ( или у ) на у (или х) среди всех других влияющих факторов.

6. Чем больше абсолютная величина , тем больше доверительная вероятность того, что характер этой связи действительно соответствует полученному коэффициентному корреляции.

 

Принято считать, что связь между исследуемыми параметрами или явлениями:

а) слабая при

б) средняя при

в) тесная при

 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Для экспериментального изучения зависимости между двумя величинами х и у производят некоторое количество n независимых испытаний:

х₁, х_2,...,х_n

y₁, y₂,...,y_n

 

Результат i -того измерения дает пару значений x_i, y_i ( i =1,2,…..n).

Вычисления производят в следующем порядке:

1. Вычисляют выборочные средние:

1. Вычисляют выборочные средние квадратические отклонения:

1. Вычисляют оценку ковариации.

1. Вычисляют коэффициент корреляции

Эталоны решения типовых задач

Задача 1. Рассчитать коэффициент парной линейной корреляционной зависимости, сделать вывод по знаку коэффициента корреляции и о степени связи следующих величин.

Объем крови х i (л)	4,22	4,69	5,04	4,34	4,22	4,8	4,45	4,69	4,92	4,57
Вес у i, (кг)

Решение. Определим выборочные средние:

Составим таблицу:

	S
(л)	-0,37	0,1	0,45	-0,25	-0,37	0,21	-0,14	0,1	0,33	-0,02
(л2)	0,14	0,01	0,20	0,06	0,14	0,04	0,02	0,01	0,11	0,0004	0,73
(кг)	-14,5	6,5	19,5	-12,5	-16,5	7,5	-5,5	2,5	13,5	-0,5
(кг2)	210,25	42,25	380,25	156,25	272,25	56,25	30,25	6,25	182,25	0,25	1336,5
(л,кг)	5,36	0,65	8,77	3,125	6,10	1,57	0,77	0,25	4,45	0,01	31,05

 

Вычислим выборочные среднеквадратические отклонения:

(л)

(кг)

Вычислим оценку ковариации:

(л, кг)

Вычислим коэффициент корреляции:

Вывод: С увеличением веса человека объем циркулирующей крови увеличивается, причем связь между этими параметрами является сильной.

Задача 2. Рассчитать коэффициент парной корреляционной зависимости, сделать вывод по знаку коэффициента корреляции, о степени связи между величинами, построить корреляционное поле и провести линию регрессии:

Основной обмен веществ хi (%)
Амплитуда артериального давление уi­ (мм рт.ст.)

Решение

Вычислим выборочные средние и :

=

= (мм рт.ст)

Заполним таблицу:

(%)			-29	-19		-39			-9
(%)2
(мм рт.ст.)	-2		-22	-12		-32			-7
(мм рт.ст.)2
(%, мм рт.ст.)	-2

Вычислим выборочные средние квадратичные отклонения σ_х и σ_у:

= =23,11(%),

= ≈19,47 (мм.рт.ст)

Вычислим оценку ковариации k_х,у:

k_х,у

Вычисляем коэффициент корреляции r_x,y:

r_x,y=

Построим корреляционное поле и проведем линию регрессии:

Вывод: Связь между основным обменом веществ (%) и амплитудой артериального давления (мм рт. ст) очень тесная, так как, r_x,y>0,7 и с увеличением основного обмена амплитуда артериального давления растет (почти прямо пропорциональная зависимость, так как r_x,y ≈1).

Задача 2. Рассчитать коэффициент корреляции при атеросклерозе между площадью поражений артерий таза (%) и возрастом больного. Сделать вывод о связи исследуемых величин.

	n=8
х (%)	22,3	3,1	48,3	17,0	7,5	40,2	23,1	16,0
у (годы)
(%)	0,1	-1,91	26,1	-5,2	-14,7		0,9	-6,2
(%)2	0,01	364,8	681,2		216,1		0,81	38,4	∑=1652,3
(год)	1,9	-21,1	21,9	-3,1	-8,1	11,9	1,9	-8,1
(год)2	3,6	445,2	4,796	9,6	65,6	141,6	3,6	65,6	∑=1214,4
(%, год)	0,2		571,6	16,1	119,1	214,2	1,71	50,2	∑=1376,1

Вычислим выборочные среднеквадратические отклонения:

(%),

(год).

Вычислим оценку ковариации:

(%, год).

Вычислим коэффициент корреляции:

.

 

Вывод: С увеличением возраста больного атеросклерозом площадь поражений артерий таза увеличивается. Связь между этими параметрами является сильной.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: