Доверительный интервал и доверительные границы

Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. Поэтому при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интервал или доверительные границы), в котором с определенной (доверительной) вероятностью Р находится истинное значение исследуемой величины (например, среднее значение генеральной совокупности).

Доверительная вероятность Р определяет вероятность, с которой осуществляется неравенство:

(*)

где ε – положительное число, характеризующее точность оценки.

Кроме доверительной вероятности используют «противоположенное» понятие – уровень значимости β:

Он выражает вероятность непопадания истинного значения исследуемой величины в доверительный интервал.

Наиболее часто в медицине доверительная вероятность Р принимается равной: 0,95; 0,99 и 0,999.

Если генеральная совокупность распределена по нормальному закону, тогда в неравенстве (*):

Для нахождения τ используются специальные таблицы Ф- функции.

Тогда доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения определится неравенством:

 

1. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПРИ МАЛОЙ ВЫБОРКЕ

При достаточно большом объеме выборки можно сделать вполне надёжные заключения о параметрах генеральной совокупности. Однако на практике часто имеют дело с выборками небольшого объема (n<30). Кроме того, почти всегда оказывается неизвестной генеральная дисперсия.

Имея выборку, можно найти лишь исправленную выборочную дисперсию S² и выборочную среднюю . Выразим отклонение выборочного среднего от генерального через S и некоторый параметр t.

или

Или представим это в виде интервала:

где t- коэффициент Стьюдента, который находится по таблицам, согласно заданному объему выборки и доверительной вероятности (приложение 4).

Эталоны решения типовых задач

Задача 1. Содержание свободного гепарина крови принимало следующие значения х_i с частотой появления m_i.

хi (мг,%)	5,7	5,9	6,3	5,6	4,1	4,0	4,5	5,0	5,1	6,7
mi

 

Вычислить выборочную среднюю арифметическую, медиану и моду. Построить полигон частот.

Решение:

Выборочная средняя определяется по формуле:

где -сумма произведений значений выборки х_i на соответствующую частоту их появлений m_i,

n- объем выборки, определяемой через

 

=4,974≈4,97 (мг,%)

Для определения медианы по заданным параметрам х_i строим вариационный ряд:

хi	4,0	4,1	4,5	5,0	5,1	5,6	5,7	5,9	6,3	6,7
mi

 

При четном числе вариант медиана определится как среднее арифметическое из двух центральных вариант

(мг,%)

Мода:

М₀ =5,0 (мг,%)

Используя данные таблицы, строим полигон частот:

Ответ: =4,97 мг,% Ме=5,0 (мг,%) М₀=5,0 (мг,%)

Задача 2. Измерения роста девочек в возрасте от трех до 5 лет представлены в виде статистического интервального ряда распределения:

Рост в см (хi)	92-95	95-98	98-101	101-104	104-107	107-110	110-113
Количество девочек mi

Вычислить выборочную среднюю арифметическую. Построить гистограмму.

Решение:

Выборочную среднюю арифметческую находим по формуле:

= ,

где (см)

(см)

(см)

(см)

(см)

(см)

(см)

Вычисляем :

(см)

Для построение гистограммы определяем шаг (ширину) интервала:

Dх =95-92=3 (см)

Определяем отношения

 

Строим гистограмму:

Ответ: =103,8см.

Задача 3. Измерение веса девочек x_i в возрасте 10 лет дало следующие результат:

xi (кг)

mi

Построить полигон частот. Вычислить выборочную среднюю арифметическую, медиану и моду.

Решение

Построим полигон частот:

 

Выборочная средняя арифметическая будет:

Медиана: Ме =24,5 кг

Мода: Мо =23 кг

 

Задача 4. Измерения роста мужчин представлены статистическим интервальным рядом распределения:

xi (см)	150-154	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
mi

Построить гистограмму. Вычислить выборочное среднее арифметическое, медиану и моду.

Решение

 

Находим шаг интервала ∆х:

∆х =154-150=4 (см)

Заполняем таблицу:

xi (см)	150-154	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
mi
	0,25	0,75	2,75	5,75	6,25	5,5	2,75	0,75	0,25

 

Медиана:

Мода: Мо =168см

Задача 5. Найти исправленную дисперсию S²,стандарт отклонения S для показателя гемоглобина, значения которого приведены ниже.

Показатель гемоглобина xi
Число лиц mi										n=50

Решение

Составим дополнительную таблицу:

xi mi
	14,59	7,95	3,3	0,67	0,32	1,39	4,75	10,11	17,47
	29,18	31,8	19,8	6,72	3,56	9,74	23,73	40,44	17,47

Находим выборочное среднее арифметическое по формуле:

Находим исправленную дисперсию по формуле:

 

Стандарт отклонения

Задача 6. Найти исправленную дисперсию S² стандарт отклонения S для веса щитовидной железы, значения которого даны в таблице:

xi (Г)
mi

Решение

Для удобства решения задачи заполним таблицу:

Заполним таблицу:

хi(г)
m i
хi m i (Г)
(Г2)
(Г2)

Рассчитаем суммы:

(г)

(г²)

Исправленную дисперсию определяем по формуле:

,

где m_i -частота появления варианты

х_i -значение варианты

-сренее выборочное арифметическое

n -объем выборки.

Используя данные таблицы, находим:

(г²)

Стандарт отклонения (исправленное среднее квадратическое отклонение) находим по формуле:

(г)

Ответ: г², S≈21,2 г

Задача 7. Пять измерений относительной вязкости крови человека дали следующие результаты: 4,80; 4,70; 4,85; 4,75; 4,90 (∙10^-3 Па∙с).

Найти среднее арифметическое и величину доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95.

Решение:

1. Определим среднее арифметическое

Определим стандарт отклонения среднего арифметического:

для этого составим таблицу:

xi	4,80	4,70	4,85	4,75	4,90
		-0,1	0,05	-0,05	0,1
		0,01	0,0025	0,0025	0,01

 

2. Определим доверительной интервал при доверительной вероятности Р=0,95.

По таблице для Р=0,95 находим коэффициент Стьюдента t=2,13.

Зная, что доверительной интервал определяется в виде интервала:

Таким образом, истинное значения относительной вязкости крови человека с вероятностью 95% лежат в интервале от 4,362∙10^-3 Па∙с до 4,968∙10^-3 Па∙с.

 

Задача 8. Двадцать одно измерение максимального кровяного давления у одного больного за период болезни дали следующие результаты (см. таблицу). Найти среднее арифметическое и величину доверительного интервала при доверительной вероятности 0,99.

xi (мм.рт.ст.)

 

Для Р=0,99 согласно таблицы коэффициента Стьюдента t=2,53.

t·S= 2,53·13,55=34,28

тогда

93,72 <μ< 162,28

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: