 |
Поиск решений в задачах ИО.
|
|
|
|
Одна из основных задач ИО заключается в поиске таких решений, которые отвечают наилучшим (экстремальным) значениям выбранного критерия эффективности операции W.
Различают два аспекта управления: оптимизация, т.е. поиск решений, доставляющих максимум или минимум выбранному критерию, и ранжирование, т.е. упорядочение решений в порядке убывания или возрастания значений критерия. Задача ранжирования носит более частный характер, так как решается, обычно, на ограниченном множестве решений.
Как уже говорилось ранее, критерий эффективностиможет бытьскалярным, т.е. характеризоваться одним единственным числом, или векторным, характеризующимся совокупностью чисел. Это зависит от характера решаемой задачи. Например, при управлении перехватчиком естественно в качестве критерия принять вероятность поражения цели. Если же перед нами стоит задача оценки проекта пассажирского лайнера, то необходимо учитывать совокупность многих его свойств: надежность, скорость, дальность, комфортабельность, рыночную конкурентоспособность и т.п.
В соответствии с характером выбранного критерия принято различать однокритериальныеимногокритериальныезадачи принятия решений.
С учетом разнообразия задач управления, критерий эффективности W, в общем виде может быть записан следующим образом
W = Ф (U, S, C),
где:
Ф – некоторый функционал,
U - вектор управления. U= f(u1,u2,...un),i=1..n,
S - вектор, характеризующий внешнюю среду,
C - вектор, характеризующий процесс (систему).
Вектор С, в свою очередь, можно представить в виде: С = Ф(К, Р), где вектор К={ki} характеризует структуру нашей системы, а вектор P={pi} является вектором параметров (конкретных числовых характеристик системы).
|
|
|
Данное выражение можно рассматривать как математическую модель управляемого процесса (системы). C помощью этой модели можно искать оптимальное управление, оптимальную структуру и оптимальные параметры при заданной структуре.
U0=arg max/min Ф (U,S,C) оптимизация управления.
u
K0= arg max/min Ф (U,S,C) оптимизацияструктуры.
k
P0= arg max/min Ф (U,S,C) параметрическая оптимизация.
p
Не снижая общности, зафиксируем значения факторов, действующих в ходе операции, и опустим их обозначения при поиске оптимальных решений, т.е. примем W = W(x), где xÎX значение вектора управления – решения, приятого оперирующей стороной.
В теории принятия решений широко употребителен термин «альтернатива». Этим термином обозначается каждое из несовместных возможных решений, определяемое в нашем случае значением вектора управления xÎX. Каждой альтернативе будет соответствовать точка в критериальном пространстве. Совокупность всех решений представляет собой полное множество альтернатив. Оно содержит как реализуемые, так и не реализуемые решения. Понятие альтернативы удобно тем, что оно обобщает все типы решений независимо от их содержания. В нашем случае альтернативами являются как решения по выбору управления, так и решения по выбору структуры или параметров управляемой системы. В рамках этой терминологии основная задача принятия решений может быть сформулирована как задача поиска оптимальных альтернатив.
В общем случае W есть векторный критерий - Wn={w1,w2...wn}. Его можно рассматривать как n-мерный вектор, или как точку в n- мерном пространстве, где w1, w2... wn ее координаты. Образованное таким образом пространство принято называть критериальным, размерность его равна числу показателей (их часто называют локальными критериями, в отличие от глобального векторного). Область всех возможных значений векторного критерия, независимо от их реализуемости, составляет, при двухсторонних ограничениях, гиперкуб, ребра которого отображают область возможных значений соответствующих показателей wi.
|
|
|
Существенным недостатком векторного критерия является то, что мы не можем решать оптимизационные задачи на его основе традиционными регулярными методами, т.к. современный математический аппарат не располагает универсальным способом сопоставления векторов.
В случае скалярного критерия эффективности под наилучшим будем понимать решение, обеспечивающее максимальное значение показателя W. Тогда задача поиска наилучшего решения может быть записана следующим образом:
При заданном комплексе условий проведении операции, найти такое решение x = x° (xÎX), которое обращает показатель эффективности операции W в максимум, т.е.
W° (x°) = мах W(x)
xÎX
(см. Рисунок)
 |
В случае минимизации показателя W, обуславливаемом его физическим смыслом (например, расходы на создание системы), задача сводится к задаче максимизации изменением знака показателя W на противоположный.
Если число возможных вариантов решения, образующих множество X невелико, то для поиска оптимального решения необходимо, для каждого из возможных значений xÎX (решая прямую задачу) определить значение показателя W. Сравнив их между собой, можно указать одно или несколько решений, при которых W достигает максимума. Такой способ называется простым перебором.
В случае, если множество возможных вариантов решения X велико, то поиск среди них оптимального простым перебором бывает весьма затруднителен, а подчас просто невозможен. С формальной точки зрения задача поиска оптимального решения относятся к задаче математического программирования, где в качестве целевой функции используется критерий эффективности W(x). Термин программирование от английского programming – составление плана или программы действий, здесь следует понимать в смысле “поиска наилучших планов - решений”, а не в смысле разработки программного обеспечения для ЭВМ.
В случае векторного критерия эффективности под наилучшим (иногда говорят рациональным) обычно понимается решение x = x° (xÎX), обеспечивающее максимальное (минимальное) значение некоторого обобщенного показателя U, который представляет собой результат формализованной (неформализованной) свертки векторного критерия в скалярный 
|
|
|
мax U = U(W(x)),
либо решение (одно из решений) x = x° (xÎX), отвечающее условию, что нельзя найти другое решение, позволяющее улучшить любой из показателей Wi (i=1,к) не ухудшая при этом значения других показателей Wx (x¹i) (хотя бы одно из них). Такие решения называются эффективными или паретовскими (xпÎXп).
Рассмотрим задачу поиска оптимальных (рациональных) решений в общем случае (множество решений может быть ограничено и не ограничено) более подробно.
Пусть W векторный критерий - Wn={w1,w2...wn}. Его можно рассматривать как точку в n- мерном пространстве, где w1, w2... wn ее координаты.
Для решения задачи поиска оптимального решения как скалярной используют, как мы уже говорили, различные методы свертки вектора в скаляр. Рассмотрим некоторые из них.
|
|
|
