 |
Поиск оптимального (рационального) решения
|
|
|
|
ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ВЕКТОРНОМУ КРИТЕРИЮ
Пусть А=(а1, а2,…, аm,….) – множество реализуемых альтернатив, где каждая альтернатива соответствует конкретному значению вектора xÎX, т.е. аi=а(хi). Это множество может быть конечным (все альтернативы могут быть заранее известны или перечислены) и бесконечным.
Под оптимальной будем понимать альтернативу, обеспечивающую наилучшее (максимальное) значение векторного критерия эффективности W = W(а(x)). Тогда оптимальная альтернатива запишется в виде
а 0 (x 0 ) = max { W(a (x)) },
где W(a (x)) - значение векторного критерия при альтернативе a (x).
К сожалению, решения x 0, обеспечивающего максимального значения по каждой компоненте векторного решения одновременно, как правило, не существует. Поэтому решения ищут среди эффективных или Паретовских (xÎXп)
ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО.
Прежде чем рассматривать данный метод, определим понятие доминирования
Альтернатива А1 доминирует над альтернативой А2, если по всем показателям (локальным критериям Wi ) А1 не уступает А2, а хотя бы по одному из них лучше.
Данный метод, рассматривая все множество альтернатив, отбрасывает те из них, которые доминируются хотя бы одной альтернативой. Таким образом, создается множество недоминируемых альтернатив. Такое множество называется Парето оптимальным, и именно из него следует выбирать решение. Поиск решений по принципу Парето-оптимальности дает, в общем случае, множество допустимых решений, а не одно единственное.
Если множество X (и, соответственно, множество альтернатив) бесконечно или велико, и прямой перебор невозможен, то целесообразно выработать некоторое правило, по которому можно осуществлять целенаправленный поиск только, по крайней мере, части точек xÎXп (например, переходя от непрерывного множества значений x к дискретному с некоторым шагом Dx), исключая при этом из рассмотрения заведомо неперспективные точки.
|
|
|
Для выбора наилучшего решения среди множества найденных xÎXп можно привлечь дополнительную неформальную информацию о ценности вариантов решений, составляющих Парето-оптимальное множество. Держателем такой информации обычно является лицо, принимающее решения (ЛПР). Именно ЛПР, рассматривая и анализируя недоминируемые альтернативы, выбирает ту из них, которая с его точки зрения является оптимальной (точнее рациональной).
На критериальной плоскости, для случая двухкомпонентного векторного критерия, оптимальными по Парето решению будут (см. рис.)
Альтернатива 1,2,3,4 – Оптимальные по Парето.
Остальные доминируемые.
ВЫБОР ГЛАВНОГО КРИТЕРИЯ
Относится к методам, не использующим свертку векторного критерия в скалярный при поиске оптимального решения.
Пусть (w1,w2,...,wn)- множество показателей. В соответствии с этим способом лицо, принимающее решения (ЛПР) выбирает самый важный показатель wi. При этом остальные показатели wj при "j¹i переводятся в ограничения. Для задачи оптимизации можно записать:
х 0=arg max wi (х), при ограничениях: wj (х0) ³(£) cj при "j¹i.
Этот способ по существу равносилен отказу от векторного критерия и переходу к скалярному. При этом происходит большая потеря информации, т.к. значения всех критериев, кроме главного, учитываются только в ограничительном смысле.
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК.
В этом случае поиск решения по векторному критерию осуществляют, оптимизируя решения поочередно по каждой компоненте векторного критерия, в порядке их предпочтения. Для этого показатели wi ранжируются по важности (предпочтительности). Но их упорядочение носит чисто качественный характер, т.е. никаких количественных оценок их важностей не производится. Затем выбирается первый, самый важный, показатель и находится оптимальная по нему альтернатива. После этого назначается уступка, т.е. интервал, в котором могут варьироваться значения первого показателя. Другими словами, определяется - насколько первый показатель может отличаться от своего оптимального значения.
|
|
|
Затем производится оптимизация по второму показателю. При этом оптимальное значение второго показателя ищется при допустимой уступке первого. Далее определяется уступка по второму показателю и т.д. В качестве оптимальной по векторному критерию принимается альтернатива, вычисленная в конце многоэтапной оптимизации.
В этом методе скаляризация векторного критерия непосредственно не производится. Возможность использования регулярных методов оптимизации обеспечивается за счет процедуры последовательного применения скалярных показателей (компонент wi) в качестве критериев оптимизации. От оптимизации по главному критерию этот способ принципиально отличается тем, что в процессе оптимизации участвуют все компоненты векторного критерия.
|
|
|
