 |
Быстрое преобразование Фурье
|
|
|
|
Преобразование Фурье используется при решении задачи о рассеянии с целью нахождения амплитудных коэффициентов необходимых для описания волны. Характер последних, как уже упоминалось, зависит от того в каком приближении мы рассматриваем поставленную задачу. Суть применения преобразования Фурье заключается в разбиении произвольной волны на элементарные плоские волны. Таким образом, получаем амплитудные коэффициенты, стоящие как множители перед рядом, в виде которого представляется волна. Затем можно подставить граничные условия в полученное выражение, что позволяет выразить неизвестные 
, 
, 
, 
, как, например, в (1.2.3), (1.2.4). Затем, проведя обратное преобразование Фурье, получим представление искомой волны, удовлетворяющее задаче.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это реализация обычного (дискретного) преобразования Фурье (ДПФ), но с намного меньшим количеством операций n=Nlog2N, где N – размер строки данных, в отличие от n=N2 в ДПФ. В БПФ используются исключительно N, являющиеся степенями двойки. Если N не является степенью двойки, то его дополняют нолями до ближайшей из степеней.
Для осуществления БПФ можно использовать лемму Даниельсона-Ланкзоса, которая разбивает ряд ДПФ
, (1.3.1)
где 
– исходная функция, на две суммы – по чётным и нечётным индексам j:
. (1.3.2)
= 
, (1.3.3)
где 
. Это и есть лемма Даниельсона-Ланкзоса [2]. Она подходит для осуществления как прямого БПФ, так и обратного.
В массиве данных 
сперва следует произвести нумерацию элементов в двоичном виде, а затем пересортировать массив, заменяя каждый элемент элементом с обратным двоичным индексом. Полученная в результате таких перестановок последовательность после преобразования по формуле (1.3.3) задаёт искомую функцию.
|
|
|
Существуют также и другие алгоритмы БПФ, как, например в [10], но они в отличие от леммы Даниельсона-Ланкзоса не выполняют как прямое, так и обратное преобразование Фурье.
Скрытие материальных объектов методом волнового обтекания
Основополагающие идеи
Исторически первенство в идее и моделировании скрытия (английский термин cloaking) методом волнового обтекания принадлежит Дж. Пендри и его коллегам [3]. Они предложили принципиально новый метод маскировки, суть которого заключается в преломлении волн в маскирующей оболочке так, что они огибают скрытый в оболочке объект и на выходе из неё остаются такими же, какими в неё попадали. В результате поле выглядит так, как если бы на пути его распространения оно не встречало никаких препятствий.
Траектории лучей в маскирующей оболочке
Чтобы наблюдатель не заметил никаких неоднородностей необходимо выполнение и следующего условия – оптическая длинна пути каждого луча в оболочке должна быть такой же, как если бы он распространялся прямолинейно в свободном пространстве. Для достижения такого эффекта для оболочки рассчитывают определённую конфигурацию параметров – диэлектрической и магнитной проницаемостей 
и 
.
Для расчета параметров маскирующего покрытия Пендри и его коллеги предложили использовать следующий приём: внутри некоторой области пространства (вакуума) создать включённую подобласть искривлённой метрики (в которой непосредственно и предполагается спрятать объект) при помощи преобразования координат.
Например, такого как в их работе [3].
, 
, 
. (2.1.1)
Преобразование (2.1.1) переводит шар радиуса 
в шаровой слой 
.
Исходя из того, что уравнения Максвелла инвариантны преобразованиям координат [4], поле падающих волн ведёт себя в искривлённом пространстве таким же образом как и в исходном. Тензоры 
и диэлектрической и магнитной проницаемостей также могут быть найдены. В [3] получены следующие диагональные элементы тензоров и :
|
|
|
, (2.1.2)
, (2.1.3)
Распределение параметров (2.1.2), (2.1.3) будут искривлять прямой луч также как и преобразования (2.1.1) искривляют прямую линию, пересекающую шар с радиусом r < . Параметры и также могут быть выражены через метрический тензор искривлённого пространства gik.
Сами рассеянные поля находят решая задачу о рассеянии на маскирующей оболочке, где, как уже упоминалось, используется БПФ. Графики распределения нормированной амплитуды электрического поля (2.2.1, 2.3.1) строят по решению, полученному в задаче о рассеянии.
В связи с тем, что преобразования метрики не затрагивают временной составляющей, фазы каждого луча в оригинальной и преобразованной системах будут равны между собой.
Таким образом, для маскировки обтеканием нужно использовать анизотропные градиентные материалы с компонентами проницаемостей меньшими единицы, или – в некоторых случаях – отрицательными. Тот факт, что в анизотропной среде отсутствуют двулучепреломление и не изменяется поляризация попадающего в неё излучения объясняется равенством и . Действительно, если речь идёт о преобразовании вакуума, то в нём = =1.
Можно заметить, что к скрытию путём волнового обтекания могла бы приводить и антигравитация. Антигравитация, исходящая от какого либо тела, вызывает такие преобразования метрики пространства, что геодезические линии как бы раздвигаются.
Тот же принцип движения луча по искривлённой траектории объясняет и такое явление как мираж. Существенное отличие в температурах воздуха у поверхности земли и в более высоких слоях вызывает различие показателей преломления, вследствие чего свет распространяется не прямолинейно, а по кривой, и мы можем видеть объекты, расположенные за линией горизонта.
|
|
|
