Сложение и вычитание комплексных чисел в графической форме
Каждое комплексное число может быть представлено вектором, поэтому сложению комплексов соответствует сложение векторов. Действительная составляющая суммарного вектора равна алгебраической сумме действительных составляющих суммируемых векторов (рис.4), т.е. С' = А' + В' (14) Аналогично, мнимая составляющая суммарного вектора равна алгебраиче- ской сумме мнимых составляющих суммируемых векторов (рис. 4), т.е. С" = А" + В". (15) Вычитание векторов, представляющих комплексные величины, можно заменить сложением уменьшаемого вектора с вычитаемым вектором, взятым с обратным знаком (рис. 5) Рис. 4. Сложение векторов А и В Рис. 5. Вычитание вектора В из вектора А
Умножение и деление комплексных чисел Возможны2 случая умножения и деления комплексов: 1. комплексы заданы в показательной форме; 2. комплексы заданы в алгебраической форме. 2.1. Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме Умножение Перемножим два комплекса, заданных в алгебраической форме: А = А' + jА" и В = В' + j В". С = А*В = (А' + j А")*(В' + j В") = А'*В' + А'*j В" + jА"* В' + j = (А'*В' - А"*В") + j (А'*В'' + А"* В') = С' + С" (18).
Пример. Найти произведение комплексов А = 2 + j 4 и В = 8 + j 6. Решение. С = А*В = (2 + j 4)*(8 + j 6) = (2*8 – 4*6) + j (2*6 +4*8) = (16 – 24) + (12 + 32) = - 8 + j44.
Деление Особенностью деления двух комплексов является дополнительное умно- жение делимого и делителя, т.е. числителя и знаменателя на сопряженный комп- лекс. Как известно, умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не изменяет дробь. Однако в данном случае в результате такого умножения в знаменателе образуется вещественное число, что резко упрощает дальнейший расчет.
Сопряженными называются два таких комплекса, мнимые части которых имеют противоположные знаки. Пусть имеется комплекс А = А'+ j А", тогда сопряженный с этим числом комплекс Ậ = А' – j А". Пусть надо разделить комплекс А на комплекс В: С = А / В = (А'+ j А") / (В'+ j В"). Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель (В'- j В"): С = (А'+ j А")*(В'- j В") / (В'+ j В")*(В'- j В") = (А'* В' - j А'* В"+ j А"* В' - j Как видим, в знаменателях действительной и мнимой частей находится одно и то же действительное число (В'
Пример 15. Для комплекса А = 5 + j 8 найти сопряженный комплекс. Решение. Сопряженный комплекс Ậ = 5 – j 8.
Пример 16. Найти произведение сопряженных комплексов, одним из которых является А = 5 + j 8. Решение. Ĉ = А* Ậ = (5 + j 8)*(5 – j 8) = 5
Пример 17. Найти частное от деления комплексов А = 6 + j20 и В = 3 + j4. Решение. С = А / В = (6*3 + 20*4) / (3 = (18 + 80) / 25 + j*(60 – 24) / 25 = 3,92 + j 1,44.
Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме
Умножение Перемножим два комплекса, заданных в показательной форме: А = |А|е = |В|е Тогда С = А*В = |А|е откуда |C| = | A*B| и γ = α + β. Таким образом, произведение двух комплексов представляет собой новый комп- лекс, модуль которого равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргумен- тов перемножаемых комплексов. Пример 9. Найти произведение комплексов А = 15е Решение. С = А*В = 15е Пример 10. Найти произведение комплексов А = 30е Решение. С = А*В = 30 е Пример 11. Найти произведение комплексов А = 70е Решение. С = А*В = 70е
Деление Разделим два комплекса, заданных в показательной форме: А = |А|е
Тогда С = А/В = |А|е Откуда |C| = | A/B| и γ = α - β. Таким образом, произведение двух комплексов представляет собой новый комп- лекс, модуль которого равен частному от деления модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя. Пример 12. Найти частное от деления комплексов А = 15е Решение. С = А/В = 15е Пример 13. Найти частное от деления комплексов А = 30е Решение. С = А/В = 30 е Пример 14. Найти частное от деления комплексов А = 70е Решение. С = А/В = 70е
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|