Задача с вертикальными углами 9 глава

9. В ходе решения последней задачи (которое у мно­гих детей сопровождалось чувством радости от приобре­тения нового опыта, новых достижений) решающей фа­зой была установка дополнительных блоков на левом и правом краях горизонтального кубика. Каким образом возникает эта операция? Как дети приходят к этому?

В результате слепых проб и ошибок? Конечно, нет, потому что, прежде чем прийти к решению, они не совер­шают бессмысленных проб. И конечно, они приходят к решению не с помощью ряда произвольных операций.

Случайным образом? Маловероятно.

В результате использования прошлого опыта, припо-

минания успешных сходных операций? Весьма вероятно, что какой-то прошлый опыт сыграл свою роль, но разве такая общая ссылка на прошлый опыт достаточна? Давай­те сразу же введем то, что необходимо. Я показывал детям конструкцию, представленную на рис. 55, не только в законченном виде, но и в процессе ее сооружения; я также давал ребенку возможность самостоятельно по­строить и уравновесить ее. Это не помогало при решении задачи с длинным мостом, даже если я еще добавлял: «Теперь ты, конечно, сможешь построить длинный мост». Вполне возможно, что некоторым детям такая процедура могла бы помочь; однако в данном случае этого не про­изошло. Какие же условия необходимы для того, чтобы эта процедура оказала помощь? Почему она не помогала в данных случаях? (Как я уже упоминал, некоторые де­ти спонтанно прерывали сооружение длинного моста, пы­тались построить именно эту структуру и, когда добива­лись успеха, возвращались к исходной задаче и решали ее ¹.)

Что же здесь является действительно решающим? Как это можно установить?

Когда наблюдаешь за поведением детей — за тем, что они делают, куда смотрят, что им кажется интересным, как они добиваются реальных успехов, — процесс пред­ставляется в следующем виде:

1) Ребенок ставит средний кубик сверху; сооружение рушится. (Отрицательный опыт; отсутствие успеха; не­которые дети разочаровываются; другие несколько раз повторяют эту операцию.)

2) Это не является для ребенка просто отрицатель­ным опытом. Он явно старается локализовать нарушение, понять причину неудачи, как и почему она произошла.

3) Падение среднего кубика теперь уже не является главной проблемой. Что-то происходит также на левом и правом краях! И то, что там происходит, связано с за­труднением или имеет к нему отношение. (Это не равносильно выяснению всех деталей в ходе поэлементного анализа; действия направлены на область, играющую важную роль во взаимосвязи явлений.)

4) Именно здесь возникает вопрос об устойчивости

¹ См.: M a i е г N. R. F. Reasoning in humans: the solution of a problem and its appearance in consciousness. — "Journal of Com­parative Psychology", 1931, vol. 12, p. 181—194.

сооружения. Каким образом? Наблюдаемое направление падения опор рассматривается как результат неустойчи­вости, возникающей из-за перегрузки на одной из сторон. (Ребенок, конечно, не формулирует это в таких абстракт­ных терминах, но он чувствует, что для того, чтобы обес­печить устойчивость, необходимо симметрично компенси­ровать перегрузку. Ситуация взывает о помощи.) Откуда же она приходит? Случайно? Из памяти? Как я уже упоминал, один ребенок прервал свою работу над мостом и построил структуру, показанную на рис. 55; поняв, что маленький кубик слева может компенсировать дополни­тельный вес кубика справа, он, сияя, вернулся к задаче с длинным мостом и решил ее ¹. Другой ребенок, не проде­лывая этого, явно сконцентрировал свое внимание на критических событиях с длинным мостом, потрогал угро­жающие равновесию края и, почувствовав, что происхо­дит, решил задачу.

Гравитационные условия должны быть включены в структуру. Но слова вроде «следует принять во внимание гравитационные ощущения» не помогут решить проблему. Гравитационный аспект проблемы выступает здесь струк­турно как часть ситуации, предполагающей устойчивость, симметрию — причем не просто геометрическую симмет­рию, пространственную симметрию, но гравитационную симметрию, смысл которой задается ее местом в общей структуре.

В этой структуре есть ряд ρ-отношений, которые свя­заны со свойствами целого. Как и в (7), мы могли бы построить в качестве заменителя копию в виде простой суммы, в которую вместо ρ-отношений и свойств целого входили бы случайные связи. Мы могли бы, например, сделать волшебную конструкцию, в которой нагрузка на

¹ Теперь мы видим, что предлагаемая в качестве помощи опе­рация является эффективной только в том случае, если она связа­на функциональными требованиями с ее функцией в целостной структуре. Тем детям, которым в качестве «помощи» показывали конструкцию, изображенную на рис. 55, эта моя операция казалась чрезвычайно странной. Они не улавливали связи этого шага с за­дачей построения длинного моста и не смогли воспользоваться им именно потому, что он не имел для них функционального значе­ния. Здесь кроется проблема для будущих экспериментальных ис­следований: возможно, что эффективной может оказаться только та помощь, которая предлагается в нужный момент, когда ребенок уже обнаружил область нарушения.

одну сторону будет приводить к устойчивости, в то время как симметричная нагрузка — как раз к противополож­ному эффекту — разрушению конструкции.

В этом месте мы можем добавить, что для детей даже исходная ситуация является не столь простой, как здесь утверждается. Они должны понять ρ-отношение, несмот­ря на технические сложности: иногда сооружение рушит­ся, даже если оно симметрично уравновешено, часто это происходит из-за некоторой неуклюжести, неловкости де­тей, из-за того, что они ставят кубики с чрезмерной силой.

Во всяком случае, в ходе подобных экспериментов у меня сложилось впечатление, что дети способны в отсут­ствие специального прошлого опыта, в результате дейст­вительно осмысленной работы над проблемой, понять именно то, что следует. Они сами осмысленно находят необходимый опыт.

Участие в таких процессах может казаться детям про­сто игрой или решением головоломки. Но, наблюдая за их поведением и анализируя его позднее, приходишь к выводу, что они достигли глубокого понимания некоторых черт нашего физического мира. «Любопытство», которое часто наблюдаешь в таких случаях, является не просто любопытством, проявляемым ко всему новому, к разгадке фокуса и т. д., но работой, направленной на более глубо­кое понимание окружающего нас мира.

Вознаграждение, например шоколад или деньги, иног­да могут усилить потребность в успешном решении зада­чи. Но во многих случаях оно, в сущности, препятствует подлинному решению. Когда все помыслы сосредоточены на желании получить шоколад, требуемые векторы не возникают. Их направление должно определяться самой структурой ситуации, ее требованиями. Похоже, что воз­награждение играет положительную роль только в том случае, когда о нем забывают в ходе работы или, иными словами, когда желание получить шоколад заменяется желанием удовлетворить требованиям ситуации.

И снова, рассматривая проблему в целом, видим, что здесь мы имеем дело не просто с совокупностью каких-то отдельных элементов или связей, а с процессом, который управляется свойствами целого и предполагает иерархию элементов логически более высокого и более низкого уровней. Мы видим также, что каждый из этих элементов (или отношений, или связей) не случайно занимает то

или иное место, а адекватно завершает, дополняет струк­туру целого «соответственно» той роли и функции, кото­рую он выполняет в данной структуре.

При исследовании реакций детей и взрослых испытуе­мых в различных вариациях задачи мы обнаруживаем, что мыслительные процессы развивались не снизу вверх, от «логически» более элементарных отношений к отноше­ниям более высокого уровня, но в прямо противополож­ном направлении. Поведение в разумных реакциях опре­деляется в первую очередь свойствами целого (устойчи­востью, замкнутостью, симметрией) и тем, что требуют эти свойства в отношении выбора кубиков, их места, рас­стояния между ними. С логической точки зрения свой­ства целого выступают как связь между отношениями; посредством этой связи вскрываются сами отношения; э свою очередь благодаря последним мы приходим к эле­ментам.

Конечно, в сознании ребенка нет такой абстрактной логической структуры. Она может быть также слишком сложной и для взрослых (особенно для тех из них, кого учили при чтении таких утверждений концентрировать свое внимание на отдельных деталях). Логика, несом­ненно, расчленяет вещи, формулируя отдельно пункты, отношения и т. д. — сами по себе. Но она делает это не для того, чтобы потом прибавлять одни элементы к дру­гим (как думают некоторые логики), а для того, чтобы установить их место, роль и функцию в структуре. Многие логики рискуют получить в результате своего анализа одни лишь аддитивные характеристики вместо видения общей картины и осознания ρ-природы явлений.

К счастью, работа восприятия (и действия) не являет­ся такой поэлементной, поэтому обсуждаемый вопрос психологически не так сложен, как с логической точки зрения ¹. Если бы восприятие было по своей сути отра­жением простой суммы стимулов (возможно, с помощью каких-то дополнительных механизмов), то оно и в самом деле было бы очень сложным.

10. Попробуем раскрыть логическую структуру дейст-

¹ См.: Wertheimer M. Untersuchungen zur Lehre von de» Gestalt.- "Psychologische Forschung", 1923, Vol. IV, S. 301-350. См. также: E l l i s W. D. Op. cit., section 5; Beardslee D. C., Wertheimer M. Op. cit., p. 115—135.

вий, их структурные особенности, которые, должны учи­тываться и в психологическом описании ¹.

Две вертикали V ₁ и V ₂являются гомологичными — они занимают одинаковое место и выполняют одинаковую роль и функцию в целой структуре. Между ними сущест­вуют отношения равенства размеров (s), с одной сторо­ны, и расстояния по горизонтали (d)— с другой. Третий кубик, перекладина (H), находится в гомологических ло­гических отношениях с V ₁и V ₂: левый конец H совпа­дает с верхним концом V ₁, а правый конец — с верхним концом V ₂. Но H, кроме того, связана с отношением d (длина H больше d) и с s: отношение равенства длин V ₁и V ₂делает возможным горизонтальное расположение H. И именно эти два последних отношения второго ранга, при условии, что этот термин допустим, тесно связаны с целостными свойствами конструкции — с ее устойчиво­стью, с тем фактом, что замыкание конструкции приво­дит к ее устойчивости ².

11. Процесс построения моста включает и ряд других операций: выбор кубиков, соответствующее их размеще­ние. В целях экспериментальной проверки различных теоретических подходов с помощью вариаций использо­вался также следующий метод: предполагалось как мож­но более объективное и исчерпывающее описание опера­ций, которое формулировалось в терминах определенной теории. Например, какая структура будет «эквивалентна» обсуждавшейся, если мы допустим, что все, что происхо­дит с ребенком в ситуации с мостом, является лишь слу­чайной цепью ассоциаций, не имеющей внутренней ρ-свя­зи с общей структурой.

Построение моста включает следующие операции:

¹ Я надеюсь, что читателя не смутит нарисованная здесь слож­ная логическая картина. Поведение и реакции детей и взрослых, конечно, не основываются на таких абстрактных логических поня­тиях. Последние являются лишь логическими средствами, которыми мы пользуемся для описания логической структуры действий. Их достоинство заключается в том, что они позволяют выразить в мо­дели те структурные особенности, которые, видимо, характеризу­ют психологическую картину, весьма отличную от логической аб­стракции.

² Здесь опущены некоторые детали, такие как симметричность положения H относительно V ₁ и V ₂, гравитационная природа ситуации и т. д. Они присутствуют в картине; но поскольку это не меняет существа дела, они здесь не рассматриваются, дабы избе­жать излишнего усложнения.

1a) Берется один кубик (либо тот, который использо­вал учитель, либо любой другой) и 1б) ставится вертикально на стол.

2а) Берется другой кубик, равный первому (по вели­чине, цвету, форме?), и

2б) ставится тоже вертикально, как и первый, 2в) рядом с первым, на некотором расстоянии от него (либо на таком же расстоянии, как у учителя, либо при­мерно на таком же расстоянии)

2г) (либо на расстоянии, которое немного меньше длины третьего кубика). За) Берется третий кубик (уже использовавшийся учителем, или просто любой кубик подходящей длины), 3б) выбирается кубик, длина которого несколько боль­ше расстояния по горизонтали между первыми двумя кубиками, и

3в) кладется третий кубик горизонтально на верти­кальные кубики (возможно, симметрично). Короче говоря: возьми кубик а, положи его вертикаль­но (v) и слева (l); возьми второй кубик, снова а (равный первому), положи его тоже вертикально (v) и справа (r), на некотором расстоянии (d) от первого а. Теперь возьми b (третий кубик), положи его горизонтально (h) сверху (t), симметрично (s).

Можно предположить, что важно усвоить эти дейст­вия в смысле установления правильных связей, ассоциа­ций между элементами; тогда правильное решение или правильный процесс означает выполнение операций, опре­деляемых этими «связями». Если мы, подобно тому, как это делается в некоторых психологических теориях, будем рассматривать эти действия таким образом, то сможем «воспроизвести» их, например, следующим простым спо­собом: допустим, нет никакого моста, кубиков и т. д., во есть картонные квадраты с написанными на них буквами и несколько ящиков с маленькой щелью в верхней части и каким-то значком на передней стороне. Учитель показы­вает или заставляет детей заучить следующие опера­ции:

1) Возьми квадрат с буквой а и положи его в ящик со значками v и l,

2) Возьми квадрат с буквой а и положи его в ящик со значками v, r, d.

(Вариант: вместо того чтобы взять квадрат с буквой а (1-й шаг), возьми квадрат с любой буквой. Затем (2-й

шаг) возьми другой квадрат с той же буквой, что и на квадрате в первом шаге.)

(Другой вариант: на карточках написаны три буквы, соответствующие длине, цвету и форме. Следует научить детей тому, что одна из этих букв в 1 и 2 должна совпа­дать. Какая буква? Существуют ли какие-нибудь другие ограничения?)

3) Возьми квадрат с буквой b или с буквами b, l, d (означающими большее расстояние) и положи его в ящик со значками h, t, s.

Так вот, если говорить об операциях, которые необхо­димо заучить, и связях, которые якобы важны, то описан­ная сейчас процедура в известной степени эквивалентна исходной процедуре построения моста. (При некоторых добавлениях они могут стать логически эквивалентными.)

Вместо ящиков можно использовать также сходную процедуру. Это ничего не изменит с точки зрения воспро­изведения простой суммы операций или произвольных связей. Можно также ввести некоторые «отношения», создавая некую констелляцию, содержащую простую сумму отношений. Можно также непосредственно использо­вать пространственные отношения.

Такая «скопированная» структура дает возможность изучать процессы обучения и выполнения действий и вы­яснить, не упускаются ли при этом какие-нибудь очень важные осмысленные действия ¹.

Можно, конечно, вести обучение, формируя такую установку на подражание. Можно изучать психологиче­ские различия в трудностях обучения, запоминания, переноса. Похоже, что копии будут дольше заучиваться, ско­рее забываться, и при этом соответствующие ошибки окажутся по необходимости случайными и бессмыслен­ными. Возможности уже описанного осмысленного переноса резко уменьшаются, а сам перенос по необходимости будет почти всегда слепым ².

¹ Один психолог — а он отнюдь не единственный, кто использовал этот подход, — попытался изучать психологию образования общих понятий и логических операций весьма сходным образом. Затем он пришел ко мне и сказал: «Теперь ты убедился, что я не чужд философии, что я не погряз в слепых экспериментах? Согла­сись, что я тоже философ, и что с помощью этих методов исследую самую суть логики и природу логических принципов».

² См. Приложение 5, где рассматривается аналогичная проблема. (См. также: К a t o n a G. Organizing and memorizing. New York, Columbia University Press, 1940). — Прим. Майкла Вертгеймера.

 

ГЛАВА 3

Задача с вертикальными углами

Вот элементарный геометрический вопрос. Две пря­мые линии пересекаются и образуют два угла а и b. Мо­жете ли вы доказать их равенство?

Рис. 56

Вероятно, вы изучали эту теорему в школе. Может быть, вы забыли ее — тем лучше. Попробуйте доказать ее, прежде чем вы прочтете то, что я описываю в этой главе. Возможно, тогда вы получите большее удовольст­вие от дальнейшего изложения.

Задавая этот вопрос сообразительным детям и взрос­лым, часто сталкиваешься со следующими ответами. «О чем вы спрашиваете? Разве это не очевидно? Естест­венно, что углы равны; разве это не понятно каждому?» И если вы настаиваете, то можете получить ответ: «Это совершенно ясно; две прямые линии сначала сходятся, а потом расходятся в одном и том же направлении».

Одно из основных затруднений при решении этой за­дачи заключается в том, что ученик не понимает — и не может понять — смысла вопроса. Он кажется искусствен­ным, бессмысленным. Часто в такой ситуации не могут понять, зачем требуется доказательство; многие не по­нимают или не способны понять значения доказательст­ва, потребность в котором возникла в ходе развития тео­ретической математики.

Некоторые говорят: «Конечно, вы можете доказать это, если захотите. Разрежьте лист по вертикали, переверните

половину листа и наложите один угол па другой. По­смотрите углы на свет. Вы увидите, что они совпадают». Если я говорю: «Согласен, они совпадут, но можете ли вы показать здесь, на чертеже, что они равны?» — то боль­шинство испытуемых не знают, что делать. Некоторые по-

Рис. 57

гружаются в глубокие раздумья, которые могут быть мало­продуктивными.

Сначала я расскажу, что происходит в школах.

I

Учитель доказывает теорему. Он проводит линии, обоз­начает углы и продолжает следующим образом:

a + b = 180°

b + c = 180°

a = 180° - c

с =180° - b

а = с, что и требовалось доказать.

Рис. 58

Можно описать этот процесс в терминах традицион­ной логики или ассоциативной теории. Учитель показы­вает ряд последовательных операций, производит сложе­ния, пишет равенства, преобразует их и наконец получает результат. Он может начать с аксиом или некоторых об­щих положений и применить их к данному случаю. Уче­ники заучивают доказательство и после этого могут по­вторить его.

Конечно, доказательство может быть описано в терми­нах ряда операций, и для проверки его валидности их необходимо рассмотреть. Но является ли такая совокуп­ность нескольких операций тем, что действительно отра­жает существо дела?

Через несколько дней учитель вызывает ученика к лоске и просит доказать равенство углов. Если теперь уче­ник слово в слово повторяет то, чему научил его учитель, то мы не знаем, повторяет ли он услышанное слепо, раб­ски или же действительно постиг доказательство, понял его.

Бывает, что ученик не вспоминает доказательство точ­но и пишет:

a + b = 180°

c + d = 180°

затем смело говорит: «Следовательно, а—c». Другие те­ряются, выглядят туповатыми и сконфуженными. Неко­торые могут написать:

a + b = 180°

b + c = 180°

а = 180° - b

b = 180° - c

и оказываются в равной степени беспомощными ¹.

Но вы также сталкиваетесь со следующими дейст­виями:

a + d= 180°

с + d= 180°

а =с

Некоторые ученики, видя это, смеются: «Посмотрите! Он сделал две ошибки!» Но действительно хороший ученик говорит или, может быть, говорит себе: «Почему я должен заботиться о словах. Неважно, как я это сделаю». Учитель спрашивает, не может ли он написать доказательство точно в той форме, в которой оно было дано, и он уверен­но пишет:

b + c = 180°

c + d = 180°

b = d

¹ Ср. гл. 1, с. 42 и сл. Такие нелепые действия, вообще говоря, не характерны для поведения детей; они могут возникнуть глав­ным образом в результате механических упражнений.

Это, конечно, оригинально, но явно отличается от тех из­менений, которые внес первый ученик.

Мы видим, что дело не в «количестве ошибок». Одна ошибка может делать ответ совершенно бессмысленным; вместе с тем две «ошибки» могут привести или не приве­сти к успеху, действия могут быть осмысленными или бес­смысленными. Две «ошибки» могут иногда указывать на осмысленное понимание. Что же является в данном слу­чае решающим? Вернемся к этому вопросу позже.

Находятся ученики, которые приходят в замешатель­ство, если учитель использует чертеж с непривычными обозначениями. Это не является доказательством того, что «разум целиком управляется привычками» ¹. Это до­казывает, что отдельные индивиды слепо следуют «тому, чему их учили». Другие могут слегка удивиться измене­ниям, но то, что они пытаются сделать, отличается от подражательного, бессмысленного повторения.

Вот примеры А- и B -решений.

Рис. 59 Рис. 60

1. Дана прямая линия; две другие линии образуют известный угол, например 90°. Если ученик смело использует здесь выученное доказательство, то он показывает, что ничего не понял.

Это — B -задача.

2. Дан прямой угол. Две пунктирные линии также об­разуют прямой угол. Одни ученики отказываются от по­пыток: «Но, учитель, мы этого не проходили». Другие же действуют содержательно, несмотря на сильно изменен­ную ситуацию.

Это — A -задача.

¹ Thorndike E. L. The psychology of algebra. New York, Macmillan, 1920, p. 458. (См. гл. 6 о Торндайке).

Рис. 61

3. Чертится угол а, одну из его сторон продолжают, образуя угол b. b делится пополам пунктирной верти­кальной линией. Добавляется четвертая линия, образую­щая с биссектрисой прямой угол. Требуется доказать ра­венство углов а и с. Читатель может сам установить, является ли этот случай А- или B -задачей.

II

Теперь я расскажу об экспериментальных результатах, которые я получил, предлагая испытуемым самостоятель­но доказать равенство двух углов, а = с. Это трудная за­дача. Большинство испытуемых не достигло успеха. Я на­деюсь, что читатель поймет почему: необходимые струк­турные операции нелегко себе представить (ср. с. 135 и сл.). В качестве иллюстрации приведу три примера.

1. Расскажу сперва об испытуемом (взрослом), кото­рый действовал в значительной степени в соответствии с классическими положениями традиционной логики. Он сказал: «Посмотрим, какими общими положениями я рас­полагаю». Спустя некоторое время он стал выписывать истинные равенства:

Рис. 62

a+b= 180° a+d= 180° b + c =180° c + d =180° a + b + c + d =360° (a + b)-(c + d)=0

Затем он начал производить перестановки, комбиниро­вать равенства парами, складывать их, вычитать, следя за

тем, не выйдет ли из этого чего-нибудь. Наконец он при­шел к равенству b = d, но и не подумал остановиться здесь и продолжал свои действия, пока не получил а = с.

Эти действия были похожи на ответ, который один композитор дал любопытному посетителю, пожелавшему знать, как тот сочиняет свои мелодии. Композитор, утом­ленный посетителем, сказал: «О, это очень просто: я беру несколько нот и по-разному их комбинирую».

2. Вот отличный пример осмысленно развивающегося процесса. Испытуемый, к счастью, мыслил вслух (време­нами бормотал). Сожалею, что я не могу хорошо описать изменения в выражении его лица и голоса в ходе работы.

Глядя на чертеж, он медленно сказал: «Итак, это не отдельные углы, относительное положение которых про­извольно». Когда его спросили, что он имел в виду, он нарисовал:

 

Рис. 62А Рис. 62Б

«Они не похожи на такие углы. Они являются соответственными частями фигуры. Видно, что прямые линии пересекаются. Эта прямизна линий должна быть как-то связана с равенством углов!.. Прямизна в терминах углов означает 180°…» Тогда он начертил:

 

Рис. 63

в сказал: «Я вижу, что а выступает как часть для своего угла в 180°, b — как часть для своего угла в 180°! Остат­ком в обоих случаях является верхний угол, один и тот же в обоих случаях!» Он обозначил его буквой с и напи­сал два равенства:

а + с = 180° b + с = 180°

Рис. 64

Затем он продолжал: «Очевидно, что а в а + с является тем, чем b — в b+с», — и написал:

a = 180°— с

b = 180°— с

«Следовательно, — заключил он, — а = b».

3. Другая последовательность действий, первые шаги которой были весьма похожими, завершалась иначе. Ис­пытуемый понял, что следует рассматривать а и b как части 180°. Но поначалу он не понимал, что нужно рас­сматривать эти условия в связи с остатком. Он рассуж­дал следующим образом: «Я должен использовать а как часть 180°; я должен использовать b как часть 180°». Он нарисовал:

Рис. 65А

Затем он начал колебаться, говоря: «Существует еще одна возможность образования пар». Просияв, он изменил ри­сунок на:

Рис. 65Б

III

Осмысленный процесс типа описанного нами в двух последних примерах включает операции группировки, осознания структуры, равенства, симметрии, «совпадения ролей», функций в группе, осознания отношений, а имен­но ρ-отношений, в которых реализуются внутренние свя­зи искомой группировки с данной структурой.

Возможно, читатель уже понял, что является сущест­венным в A - и B -случаях и реакциях. В А- и B -реакциях (см. рис. 59—61) имеет значение не повторение пунктов, не копирование заученной совокупности шагов, а струк-

турные вопросы. Для установления равенства а и с один из углов, угол а, рассматривается как часть 180°, как часть угла а+b+ с также рассматривается как часть 180° — угла c + b. При одинаковом остатке углы а и с должны быть равны. Структурный результат заключается в сле­дующем:

Рис. 66

Таким образом, важно то, как структурно связаны друг с другом эти два равенства; осмысленное действие заключается в поиске этих структурных требований. B -реакции нарушают последние, слепы к ним. A -реакции оп­ределяются ими, но внутри A -реакций оперирование фа­зами весьма свободно; несущественно, «правильно ли повторяются» шаги доказательства.

В общем виде структура такова:

Рис. 67

Решающее значение имеет не природа составных частей, а тип группировки в связи с отношениями:

r ₁, равенством подцелых,

r ₂, идентичностью остатка,

ведущими к r ₃, равенству двух углов.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: