Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение элементарной струйки идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы — силы тяжести (рисунок 3.2). В рассматриваемом случае в жидкости могут действовать нормальные напряжения сжатия (давление), но не могут действовать касательные напряжения (трение), так как у жидкости отсутствует вязкость.

Для вывода уравнения Бернулли выберем два сечения 1—1 и 2—2, а также произвольную горизонтальную поверхность О—О. Будем считать, что в сечении 1—1 площадью dS₁ скорость жидкости υ₁ и действует давление р₁,а его центр тяжести располагается на высоте z₁ относительно выбранной поверхности 0 - 0. Сечение 2—2 характеризуется аналогичными параметрами, но с индексом «2» (dS₂, υ₂, р₂ и z₂).

Пусть за время dτ участок струйки, ограниченный сечениями 1—1 и 2—2, сдвинулся и занял новое положение, ограниченное сечениями 1'—1' и 2'—2'. Тогда первое сечение переместилось на расстояние dl_1, а второе сечение — на расстояние dl₂. При этом можно условно считать, что часть ограниченного объема жидкости осталась на месте (объем между сечениями 1—1 и 2—2), а другая часть между сечениями 1—1 и 1'—1' (на рисунке 3.2 затемнена) переместилась на место между сечениями 2—2 и 2'—2' (на рисунке 3.2 также затемнена), т. е. объемы затемненных участков равны:

.

Следовательно, равны и массы этих объемов (dm), а также одинаковы их веса (dG).

Для вывода уравнения Бернулли применим к жидкому телу, находящемуся между сечениями 1— 1 и 2—2, теорему механики об изменении кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.

Как следует из сказанного ранее, кинетическая энергия участка жидкости между сечениями 1'—1' и 2—2 за время dτ не изменилась, так как этот участок условно можно считать неподвижным. Тогда изменение кинетической энергии всего жидкого тела будет определяться разностью кинетических энергий выделенных объемов (участков, затемненных на рисунке 3.2), а точнее, изменением их скоростей, так как их массы одинаковы, т. е.

Работу за отмеченный промежуток времени совершают силы тяжести и силы давления. При оценке работы сил тяжести также будем учитывать условную неподвижность участка жидкости между сечениями 1'—1' и 2—2. Тогда работа сил тяжести A_G определится перемещением веса dG на расстояние (z₁ – z₂):

A_G =dG (z₁ – z₂).

Работа сил давления A _p будет складываться из двух величин: (работы положительной силы и работы отрицательной силы). Первая, равная произведению давления p_l на площадь dS₁, способствует сдвигу сечения 1—1 на расстояние dl₁, а вторая, равная произведению давления р₂ на площадь dS₂, препятствует перемещению сечения 2—2 на расстояние dl₂, то есть

.

Приравняв сумму работ сил тяжести A_G и давления A_p к изменению кинетической энергии тела Е_к, получим

.

Разделим каждый член последнего уравнения на вес dG. После математических преобразований, учитывая, что dG = dm·g = dV·ρ·g,получим

, (3.5)

где z – геометрический напор, м;

р / ρ·g – пьезометрический напор, м;

υ² / 2g – скоростной напор, м.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.

Трехчлен вида

называется полным напором.

Уравнение Бернулли (3.5) записано для двух произвольно выбранных сечений. Очевидно, что для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение:

.

Таким образом, для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.