 |
Основное уравнение гидростатики
|
|
|
|
Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила – сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.
Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.6) и на ее свободную поверхность действует давление р0. Найдем гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.
Рис. 6. Схема для вывода основного уравнения гидростатики
Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:
рdS - р 0 dS - ρghdS = 0
Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем:
р = р 0 + ρgh = р 0 + hγ
Удельный вес γ = ρg, где ρ — плотность вещества, g — ускорение свободного падения.
Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики.
По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления р 0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Величина γh называется весовым давлением.
|
|
|
h — высота столба жидкости над точкой (глубина её погружения), в которой определяется давление. Из уравнения следует, что давление в жидкости p увеличивается с глубиной h и зависимость является линейной.
Основное уравнение гидростатики можно записать иначе. Пусть необходимо определить давление р в точке М на уровне z (рис.). Подставив в уравнение значение высоты h = z о – z, получим:
р = р о + ρg (z о – z).
После несложных преобразований получим основное уравнение гидростатики для двух точек одного и того же объема покоящейся жидкости:
Поскольку точка М взята произвольно, то можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости:
Таким образом, по формуле в покоящейся жидкости в точке, находящейся на глубине h под свободной поверхностью, давление равно сумме внешнего давления р о и весового давления ρhg.
В частном случае для открытых резервуаров и водоёмов, сообщающихся с атмосферой (рис. 3), внешнее давление на жидкость равно атмосферному давлению p 0= p атм=101325 Па» 1 ат. Тогда основное уравнение гидростатики принимает вид
p = p атм + g h p
где h p — пьезометрическая высота. Избыточное давление (манометрическое) есть разность между полным и атмосферным давлением. Из последнего уравнения получаем, что для открытых резервуаров избыточное давление равно давлению столба жидкости
p изб = p ман = p – p атм = g h p.
Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности р 0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.
|
|
|
|
|
|
