Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Субъективный байесовский метод





Дуда, Харт и Нильсон видоизменили формулы Байеса для выводов в инженерии знаний и предложили метод выводов, названный субъективным байесовским методом. При этом методе связи И, ИЛИ, специально не оговариваются, а каждый член в предпосылке представляется минимальным или максимальным значением байесовской вероятности.

После этого вывода с помощью правил, которые содержат степени надежности, и выводы в случае связи КОМБ независимых доказательств, заменяются следующим образом.

Прежде всего из формул Байеса следуют соотношения:

(**)

 

(здесь A - дополнительное множество А). Кроме того, если Х и Y взаимно независимые относительно А, то справедливо соотношение:

 

(***)

 

Таким образом, используя Р(А), определим априорные шансы А:

 

 

и апостериорные шансы А при получении доказательства Х.

 

 

При этом вероятность Р и шансы О связаны отношением

Р=О/(О+1),

Если определены шансы, то можно получить вероятность. Пусть

λx = P(X|A)/P(X|A )

 

 

отношение правдоподобия при получении доказательства Х, тогда из

формулы (**) следует

 

O(A|X) = λx*O(А)

 

Аналогично, если определить отношение правдоподобия λ y относительно доказательства Y, то из формулы (***) получим апостериорные шансы А при выводе из независимых доказательств X и Y.

O(A|X,Y) = λx* λy*O(A)

 

Априорную вероятность Р(А) гипотезы А (или априорные шансы О(А)) и правдоподобные отношения λ x , λ y , приписанные правилами, задаются на основе знаний эксперта. Если одно из доказательств Х или Y, либо оба подтверждаются с вероятностью 1, то из формул выше (расчета апостериорных шансов) соответственно можно определить апостериорные шансы и апостериорную вероятность А, но если доказательства включают ненадежные данные, то применяют следующий приближенный метод.

Пусть известно (из предыдущих выводов), что доказательство Х справедливо с вероятностью Р(Х|*) со значением в отрезке [0,1]. Тогда апостериорную вероятность P(A|(X|*)) гипотезы А можно задать, например, как функцию, указанную на рисунке.



 

 

То есть если доказательство подтверждается с вероятностью, меньшей априорной вероятности Р(Х), то соответствующее правило ничего существенно не дает и не влияет на дальнейшие выводы, но если вероятность больше Р(Х), то влияние задается линейной функцией. При этом эффективное отношение правдоподобия определяется следующим образом:

 

 

Для доказательства Y можно определить аналогичное эффективное соотношение правдоподобия λy ' . Из сказанного выше следует, что при выводах в случае ненадежных доказательств, можно руководствоваться следующими правилами. Если есть только доказательство Х, то λ x в формуле O(A|X ) = λx*O(А) заменяется на λx' :

O(A(X|*)) = λx'*O(A)

а если одновременно существует независимое доказательство Y, то λy в аналогичной формуле O(A|X,Y) = λx* λy*O(A) заменяется на λ'y :

O(A|(X|*),(Y|*)) = λx'*λy'*O(A)

 

Это и есть субъективный байесовский метод.

Здесь возникает проблема: что делать, когда сумма вероятностей подмножеств, для некоторой подцели взаимно опровергающих друг друга, не равна 1. Впрочем, в этом случае можно нормировать вероятности. Но кроме этой проблемы существует проблема необходимости заранее устанавливать априорные вероятности каждого условия, проблема соответствия

действительности функции апостериорной вероятности гипотезы (на рисунке) и другие проблемы.

Пример. Условная вероятность – это вероятность наступления какого-то события s при условии, что уже наступило другое событие l. Условная вероятность обозначается P(s/l). Вероятность наступления двух событий вычисляется следующим образом.

P(l и s)=P(s/l)P(l)

В экспертных системах используется еще одно уравнение условной

вероятности:

P(s) = P(s/l)·P(l)+P(s/~l)·P(~l)

 

Рассмотрим использование условной вероятности на примере правил, описывающих экспертную систему фондовой биржи.

1. ЕСЛИ ПРОЦЕННЫЕ СТАВКИ = ПАДАЮТ

ТО УРОВЕНЬ ЦЕН = РАСТЕТ

2. ЕСЛИ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ = РАСТУТ

ТО УРОВЕНЬ ЦЕН = ПАДАЕТ

3. ЕСЛИ ВАЛЮТНЫЙ КУРС ДОЛЛАРА = ПАДАЕТ

ТО ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ РАСТУТ

4. ЕСЛИ ВАЛЮТНЫЙ КУРС ДОЛЛАРА = РАСТЕТ

ТО ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ = ПАДАЮТ

Надо определить вероятность повышения уровня цен. Цель примера не в описании реальной ситуации, а в иллюстрации подхода к решению задачи. Пусть система реализует обратные рассуждения. В части ТО правил, будем искать вывод УРОВЕНЬ ЦЕН = РАСТЕТ.

Подойдет правило 1: УРОВЕНЬ ЦЕН = РАСТЕТ при условии, что ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ = ПАДАЮТ. Используя уравнение 1 условной вероятности, можно оценить эти условия. Прейдем к переменным и заменим s на STOCK = РАСТЕТ и l на INT = ПАДАЮТ, в результате получим

уравнение 2:

 

P(STOCK=РАСТЕТ)=Р(STOCK=РАСТЕТ/INT=ПАДАЮТ)·

·P(INT=ПАДАЮТ)+P(STOCK=РАСТЕТ/INT=НЕ ПАДАЮТ)·

P(INT=НЕ ПАДАЮТ)

Для того чтобы определить, присвоено ли переменной INT значение ПАДАЮТ, надо вернуться к правилу 4:

4. ЕСЛИ DOLLAR=РАСТЕТ,

ТО INT=ПАДАЮТ

Правило 4 преобразуется в уравнение 3:

P(INT=ПАДАЮТ)=P(INT=ПАДАЮТ/DOLLAR=РАСТЕТ)·

·P(DOLLAR=РАСТЕТ)+P(INT=ПАДАЮТ/DOLLAR=НЕ РАСТЕТ)·

·P(DOLLAR=НЕ РАСТЕТ)

(3)

Поскольку ни в одной из правил в части ТО нет переменной DOLLAR , т. е. значение вероятности для нее определить нельзя, это значение должно быть введено пользователем. По этой же причине условную вероятность так же должен задать пользователь (она не входит в часть ТО правил). Давайте установим вероятности появления некоторых событий, исходя из собственных обоснованных соображений:

P(DOLLAR=РАСТЕТ)=0,6.

Согласно теории вероятностей, сумма вероятностей появления и непоявления какого-либо события равна 1. В дальнейшем это свойство вероятностей будет часто использоваться. Исходя из сказанного, можно записать:

P(DOLLAR=НЕ РАСТЕТ)=1-P(DOLLAR=РАСТЕТ)=1-0,6=0,4.

Присвоим значения всем условным вероятностям:

P(INT=ПАДАЕТ/DOLLAR=РАСТЕТ)=0,8.

P(INT=ПАДАЕТ/DOLLAR=НЕ РАСТЕТ)=0,1.

Отметим, что сумма условных вероятностей для противоположных событий не равняется 1. Противоположными в условной вероятности будут события DOLLAR=РАСТЕТ и DOLLAR=НЕ РАСТЕТ. Подставив присвоенные значения в уравнение 3, получим:

P(INT=ПАДАЕТ)=0,8·0,6+0,1·0,4=0,52.

Из основного свойства вероятности находим:

P(INT=НЕ ПАДАЕТ)=1-0,52=0,48.

Для того чтобы найти P(STOCK=РАСТЕТ) пользователь должен задать значения условных вероятностей:

P(STOCK=РАСТЕТ/INT=ПАДАЕТ)=0,85.

P(STOCK=РАСТЕТ/INT=НЕ ПАДАЕТ)=0,1.

Вероятность P(STOCK=РАСТЕТ) можно вычислить по уравнению 2:

P(STOCK=РАСТЕТ)=0,85·0,52+0,1·0,48=0,49 или 49%.

Получив все значения вероятностей, пользователь может определить свою политику на бирже.

 





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.