 |
Возведение комплексных чисел в степень
|
|
|
|
Начнем со всем любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число 
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей 
и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения 
:
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде 
?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме 
, то при его возведении в натуральную степень 
справедлива формула:
Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел 
, 
нужно перемножить их модули и сложить аргументы:
Аналогично для показательной формы: если 
, то:
Просто до безобразия.
Пример 10
Дано комплексное число 
, найти 
.
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе 
, а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет 
радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе 
. Для удобства делаем дробь правильной: 
, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: 
. Надеюсь всем понятно, что 
и 
– это один и тот же угол.
|
|
|
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).
Хотя – ни в коем случае не ошибка.
Пример 11
Дано комплексное число 
, найти 
. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа 
, 
, 
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Пример 13
Возвести в степень комплексные числа 
, 
Это пример для самостоятельного решения.
Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:
Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения 
? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: 
.
|
|
|
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: 
, 
, 
, 
, 
и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.
О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:
Пример 14
Решить квадратное уравнение 
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным формулам получаем два корня:
– сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: 
, 
Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида 
имеет ровно корней, часть из которых могут быть комплексными.
Простой пример для самостоятельного решения:
Пример 15
Найти корни уравнения 
и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).
|
|
|
