Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение
, или, то же самое:
. Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при
получается квадратный корень
. Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который рассмотрен на уроке Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного «эн»:
Уравнение вида
имеет ровно
корней
, которые можно найти по формуле:
, где
– это модуль комплексного числа
,
– его аргумент, а параметр
принимает значения: 
Пример 16
Найти корни уравнения 
Перепишем уравнение в виде 
В данном примере
,
, поэтому уравнение будет иметь два корня:
и
.
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
, 
Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа
:
Число
располагается в первой четверти, поэтому:
Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.
Еще более детализируем формулу:
, 
На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.
Подставляя в формулу значение
, получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение
, получаем второй корень:

Ответ:
, 
При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод.
И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени:
.
Пример 17
Найти корни уравнения
, где 
Сначала представим уравнение в виде
:

Если
, тогда 
Обозначим
привычной формульной буквой:
.
Таким образом, требуется найти корни уравнения 
В данном примере
, а значит, уравнение имеет ровно три корня:
,
,
Детализирую общую формулу:
, 
Найдем модуль и аргумент комплексного числа
:
Число
располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализирую формулу:
,
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение
и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение
и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение
и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней
и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.
Теперь берем аргумент первого корня
и выясняем, чему равняется угол в градусах:
. Отмеряем транспортиром
и ставим на чертеже точку
.
Берем аргумент второго корня
и переводим его в градусы:
. Отмеряем транспортиром
и ставим на чертеже точку
.
По такому же алгоритму строится точка 
Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом
между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.
Уравнения четвертого
и высших порядков встречается крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.
Чтобы закрепить материал и узнать много нового, обязательно приходите на практикум Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами – будет жарко!
Решения и ответы:
Пример 6: Решение:

Пример 8: Решение:
Представим в тригонометрической форме число
. Найдем его модуль и аргумент.
. Поскольку
(случай 1), то
. Таким образом:
– число
в тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число
. Найдем его модуль и аргумент.
. Поскольку
(случай 3), то
. Таким образом:
– число
в тригонометрической форме.
Пример 11: Решение: Представим число в тригонометрической форме:
(это число
Примера 8). Используем формулу Муавра
:

Пример 13: Решение:

Пример 15: Решение:
,
Разложим квадратный двучлен на множители:
Воспользуйтесь поиском по сайту: