Евклид – основоположник геометрической оптики

Евклид (III в. до н.э.) жил в Александрии. Автор первого дошедшего до нас трактата по математике «Начала», в котором подведен итог предшествующему развитию древнегреческой математики. В нем изложены планиметрия, стереометрия и ряд вопросов теории чисел.

По Евклиду, простейшим геометрическим объектом является точка, ко­торую он определяет как то, что не имеет частей. Это неделимый атом пространства.

Евклид является создателем геометрической системы (евклидовой гео­метрии), на которой основывается вся классическая физика. Он создал уче­ние о параллельных и знаменитый пятый постулат:

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неогра­ниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где угол меньше двух прямых.

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

Основные труды Евклида — «Оптика» и «Катоптрика». В этих со­чинениях сформулированы законы прямолинейного распространения и отражения света. Евклид рассматривал образование тени, получение изображений с помощью малых отверстий, явление отражения от плоских и сферических зеркал. Все это служит основанием считать Евклида осново­положником геометрической оптики.

Архимед

Архимед (287 - 212 гг. до н.э.) родился в Сиракузах (остров Сицилия). Отец Архимеда, астроном Фидий, был одним из приближенных царя Гиерона — правителя Сиракуз (280 г. до н.э.), одного из родственников Архимеда.

Многие годы Архимед занимался математикой в Александрии. Вернулся в Сицилию зрелым математиком. В своих работах нередко опирался на математику: использовал принцип рычага при решении ряда геометрических задач. Был представителем математической физики.

Архимед был не только математиком и механиком, но и одним из крупнейших инженеров своего времени, конструктором машин и механических аппаратов.

Это первый ученый, уделявший много внимания и сил военным задачам, что было обусловлено политическим положением Сиракуз. Архимеду было 23 года, когда началась Первая Пуническая война между Римом и Карфагеном, и 69 лет, когда началась Вторая Пуническая война, во время которой (в 212 г. до н.э.) он погиб (во время осады Сиракуз). Был похоронен с большими почестями.

Война шла за обладание Сицилией. Оба государства стремились скло­нить на свою сторону Сиракузы. Гиерон и его преемники хотели сохранить независимость, но понимали, что неизбежно столкновение с Римом, и по­этому готовились к войне. В оборонительных планах Сиракуз видное место занимала военная техника. В решении этой задачи сыграл большую роль Архимед. Под его руководством были созданы метательные машины, кото­рые использовались в борьбе с сухопутной армией; машины, поднимающие из воды суда противника и перевертывающие их; механизмы, бросающие с берега на суда тяжелые бревна; машины, которые приводили подтянутые из воды суда во вращение и бросали их на камни. Действие этой техники красочно описано историком Плутархом, написавшим биографию полководца Марцелпа, возглавлявшего захват Сиракуз.

Архимеду принадлежит более 40 изобретений, в том числе планетарий, причем чрезвычайно сложный.

Архимед заложил основы статики. Разработал теорию рычага, сфор­мулировал условие равновесия рычага. В основе этой теории лежат посту­латы Архимеда о рычаге:

Два одинаковых груза, подвешенные на равных расстояниях от точки опоры рычага, находятся в равновесии (рис. 1, а).

Одинаковые грузы, подвешенные на неравных расстояниях, не находятся в равновесии, но действующий на более далеком расстоянии опускается (рис. 1, б).

Если два груза находятся в равновессии на определенных расстояниях и к одному из них что-либо прибавить, то равновесие нарушится, и увеличенный груз опустится (рис. 1, в).

Точно так же если что-либо отнять от одного из грузов, то опускается тот, от которого ничего не было отнято.

Исходя из этих и некоторых других постулатов, Архимед формулирует условие равновесия рычага: «Два соизмеримых груза находятся в равновесии, если они обратно пропорциональны плечам, на которые эти грузы подвешены».

В книге «О равновесии плоских фигур» содержатся определения цен­тров тяжести треугольника и параллелепипеда (рис. 2, а, б). Понятие цен­тра тяжести предполагается известным. Архимед пользуется методом де­дукции.

Важное значение в исследованиях Архимеда занимает изучение условий плавания тел. Начались они с просьбы царя Гиерона определить, нет ли примесей в составе золотого венка, который Он после успешного военного похода решил пожертвовать храму. Сформулированный в результате этих поисков закон Архимеда изложен в сочинении «О плавающих телах».

Эта задача решалась так:

1. Были подготовлены кусок серебра и кусок золота, имеющие вес, равный весу венка.

2. Затем Архимед погрузил кусок серебра в сосуд, наполненный водой, и измерил количество вытесненной воды (рис. 3).

3. То же он проделал с куском золота.

4. Архимед установил, что объем куска золота меньше объема куска серебра, имеющего такой же вес.

5. Затем в сосуд, доверху наполненный водой, погрузил венок и установил, что венок вытеснил воды больше, чем кусок золота, имеющий такой же вес.

Таким образом, Архимед узнал, что в золото было подмешано серебро, и тем самым доказал обман мастера.

Далее Архимед вычислил количество украденного золота.

Примерный расчет (по допущению).

Масса венка 5 кг. Он вытеснил из сосуда воду массой 3/8 кг.

Было известно, что кусок серебра массой 1 кг вытесняет 1/10 кг воды, а кусок золота массой 1 кг вытесняет 1/20 кг воды.

Предположим, что в венке было X кг серебра, тогда золота в нем было (6 — Х) кг.

X кг серебра вытесняет X/10 кг воды.

Золото, которого в венке было (5—X) кг, вытесняет (5 — X) /10 кг воды.

Можно написать уравнение 3/8 = X/ 10+ (5 —Х)/20.

Решая его, находим массу серебра: Х=2,5 кг.

Решение этой проблемы побудило Архимеда заняться вопросом о плавании тел. Результаты его исследований изложены в сочинении «О плава­ющих телах».

Архимед разбирает также вопрос об устойчивости равновесия пла­вающих тел различной геометрической формы.

Полученные им результаты получили современную формулировку и до­казательство только в XIX в. Сочинение «О плавающих телах» основано на следующих положениях:

· Жидкость во всех частях однородна и непрерывна.

· Во всякой жидкости менее сжатая часть смещается другой, более сжатой.

· Всякая жидкость испытывает давление от лежащей отвесно над ней жидкости.

Отсюда вытекают следствия:

· Поверхность покоящейся жидкости должна иметь сферическую фор­му, концентрическую с формой Земли.

· Тело более легкое, чем жидкость, будет погружаться в нее до тех пор, пока вес тела не сравняется с весом вытесненной жидкости.

· Тело, погруженное в жидкость, всплывает с силой, равной избытку веса жидкости (в объеме, вытесненном телом) над весом тела.

· Тело более тяжелое, чем жидкость, погружается в нее с силой и те­ряет вес, равный весу вытесненной жидкости.

Последнее следствие, носящее название «закон Архимеда», является одним из наиболее знаменитых положений Архимеда.

Свой закон Архимед сформулировал так: тела, которые тяжелее жидкости, будучи опущены в нее, погру­жаются все более глубже, пока не достигают дна, и, пребывая в жидкости, теряют в своем весе столько, сколько весит жидкость, взятая в объеме тела.

Сам Архимед в своем сочинении это положение называет теоремой.

Работы Архимеда в области математики:

1.Впервые указал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу, а другой — длине окруж­ности (рис. 4).

Согласно Архимеду площадь круга, радиус которого равен г, лежит между величинами 22/7 и 223/71. Число 22/7до сих пор называется архи­медовым и обозначается буквой p.

2. Доказал, что объемы цилиндра, шара и конуса, имеющих одинако­вую высоту и ширину, относятся как 3:2:1 (рис. 5).

Архимед, по-видимому, считал эту теорему самым значительным своим открытием, так как завещал изобразить суть этой теоремы на своей могиле. Это его пожелание было выполнено. Именно по изображению на надгробной плите данных фигур через 137 лет и было найдено Цицероном место захоронения Архимеда.

Метод Архимеда - исходить из заданных положений посредством теорем, дедуктивно приходить к новым выводам. Этот метод хотя и дает надежные результаты, но имеет тот недостаток, что скрывает путь, по которому изобретатель сам пришел к основным положениям (постулатам).

Характеризуя геометрию Архимеда, древнегреческий историк Плутарх утверждал: «Во всей геометрии нельзя найти теорем более трудных и глубоких, чем те, которые Архимед решает самым простым и наглядным образом».

Архимед стремился все явления природы описать математически, по­этому его справедливо считают родоначальником математической физики. Галилей называл его своим учителем.

В области астрономии Архимед доказал, что:

· расстояние от Солнца до Земли не менее 10000 земных радиусов;

· поперечник сферы неподвижных звезд не менее 10 000 000 000 стадий;

· число песчинок, которые наполнили бы такую Вселенную, выража­ется числом из единицы с 63 нулями, т. е. 10⁶³;

· отношение солнечного поперечника к лунному равно 30:1 (в дейст­вительности 400:1).

Современники преклонялись перед Архимедом как перед божеством, но никто не решался идти по его следам. Это объясняется тем, что он не основал никакой школы и имел весьма мало непосредственных преемни­ков.

В результате сиракузяне скоро забыли об Архимеде. Поэтому спустя 137 лет (в 75 г. до н.э.) Цицерону пришлось указывать неблагодарным потомкам, где похоронен великий ученый.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: