Методические указания к выполнению контрольной работы
Стр 1 из 3Следующая ⇒ МАТЕМАТИКА
Методические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной работы №2 для студентов I курса заочной формы обучения
Подготовлено на кафедре высшей математики
Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета, представленного составителями.
Содержание 1. Общие положения 4 2. Методические указания к изучению дисциплины 5 3. Методические указания к выполнению контрольной работы 6 4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 Контрольные задания 17 Указания к заданию 2. ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 19 Контрольные задания 24 Указания к заданию 3. ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 26 Контрольные задания 33 Указания к заданию 4. ТЕМА 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 34 Контрольные задания 36 Указания к заданию 5. ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 38 Контрольные задания 49 Указания к заданию 6. ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 51 Контрольные задания 58 5. Требования к выполнению контрольной работы 61 6. Список литературы 62 Приложение 1 63 Приложение 2 66 Общие положения Цель курса - дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач. Для этого при изучении курса студенты осваивают методы математического моделирования экономических ситуаций, математические методы их исследования и решения, методы анализа полученных результатов. Это способствует также развитию логического и алгоритмического мышления. Значительная часть материала выносится на самостоятельную проработку, что служит развитию навыков самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.
Математика как учебная дисциплина в системе обучения инженеров-экономистов опирается на школьный курс математики, используя все его разделы. Изученные в курсе математики методы и алгоритмы используются во всех параллельных и следующих за ним курсах дисциплин. Формой контроля является экзамен. Методические указания к изучению дисциплины Рекомендуется изучение методического пособия в порядке изложения материала. Возможно изучение отдельной темы. В качестве дополнительной литературы рекомендуется использовать издания, указанные в списке литературы. В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их решению. Методические указания могут быть использованы студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ, а также при подготовке к экзамену. Контрольная работа №2 включает задания по следующим темам: 1. Предел функции (2 задания); 2. Основы дифференциального исчисления (2 задания); 3. Исследование функции и построение графика (1 задание); 4. Функции двух переменных (1 задание); 5. Неопределенный интеграл (3 задания); 6. Определенный интеграл (3 задания). Целостное представление о содержании курса дает Приложение 1. Содержание дисциплины (извлечение из рабочей программы дисциплины), где показаны принципы и логика построения дисциплины. Необходимость выпуска настоящего пособия вызвана особенностями заочной формы обучения.
Методические указания к выполнению контрольной работы Выполнение контрольных работ служит решению задачи получения студентами необходимых практических навыков по решению заданий из курса математики. Выполнение контрольных работ нацелено на получение студентами необходимых практических навыков решения задач из курса математического анализа. Прежде чем приступить к их выполнению, необходимо внимательно изучить соответствующие разделы Методических указаний, попробовав самостоятельно решить разобранные примеры.
В случае возникновения затруднений, а также при необходимости более глубокого изучения вопроса, следует обратиться к рекомендованной учебно-методической литературе. Процесс работы над контрольной работой является важным этапом подготовки к зачету. Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра (номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачетной книжки №1972 это вариант №12. 4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 Указания к заданию 1. Областью определения функции Пусть функция
Число
Аналогично, число Например, для функции Можно доказать, что для существования предела функции Если для любого Если же для любого Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция
Отметим следующие свойства пределов:
1. Если 2. 3. 4. 5. Дадим несколько определений, важных для дальнейшего. Функция Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть 1. 2. 3. 4. Если существует 5. Для монотонно возрастающей функции ( Рассмотрим две бесконечно малые величины Рассмотрим несколько примеров. Пример1. Вычислить предел Решение. Очевидно, что числитель дроби Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше. Пример2. Вычислить предел Решение. Очевидно,
Поскольку числитель в окрестности точки Пример3. Вычислить предел Решение. Если подставить Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:
Рассмотрим Пусть
Нетрудно видеть, что при Если
Рассмотрим теперь случай
Таким образом,
Рассмотрим два предела: С помощью несложных оценок можно показать, что В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:
Поэтому можно утверждать, что при Пример 4. Вычислить предел:
Решение.
Очевидно, что все подкоренные выражения при Пример 5. Вычислить предел Решение. Подставив в заданную функцию Следовательно,
Следовательно, Пример 6. Вычислить предел Решение. Это неопределенность вида
Пример7. Вычислить предел Решение. В данном случае имеем дело с неопределенностью вида
Тогда Так как при то
Поскольку Пример 8. Найти предел Решение. При так как Пример 9. Найти предел Решение. Неопределенность вида Далее, Поэтому Пример10. Найти предел Решение. Неопределенность вида
Здесь учтено, что Контрольные задания Найти следующие пределы.
1.1 а)
1.2. а)
1.3. а)
1.4. а)
1.5. а)
1.6. а)
1.7. а)
1.8. а)
1.9. а)
1.10. а)
1.11. а)
1.12. а)
1.13. а) 1.14. а) 1.15. а)
1.16. а)
1.17. а)
1.18. а)
1.19. а)
1.20. а)
Указания к заданию 2. Пусть на интервале
Нахождение производной называют дифференцированием функции. Функцию
Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом Выражение Геометрически дифференциал Если производная существует для всех Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций. Основные правила дифференцирования 1. 2. 3. 4. 5. Производная сложной функции: если Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Логарифмической производной функции Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у. Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной Рассмотрим примеры вычисления производных. Пример 1. Найти производную функции Решение. Применяя правила 4,1 и таблицу производных, получим:
Пример 2. Найти Решение. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
Пример 3. Найти производную функции Решение. Применим логарифмическую производную: Пример4. Найти производную функции Решение. В случае произведения нескольких сомножителей применение логарифмической производной также эффективно:
Пример 5. Найти производную функции Решение. Применим правило дифференцирования неявной функции:
Контрольные задания Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. | ||||||||||||||
|
|