Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интеграл следующего вида: ,

где R - рациональная функция, - рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k - общий знаменатель всех дробных показателей.

Пример16. Вычислить интеграл .

Решение. Положив , получим: = = = .

Контрольные задания

Вычислить неопределенные интегралы.

5.1

5.2 .

5.
3 .

5.
4 .

5.
5 .

5.
6 .

5.
7 .

5.
8 .

5.
9 .

5.
10 .

5.
11 .

5.12 .

5.13 .

5.14 .

5.15 .

5.16 .

5.17 .

5.18 .

5.19 .

5.20 .

Указания к заданию 6.
ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот промежуток произвольным образом на n частей точками .

В каждом из полученных частичных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность , после этого составим сумму , которая называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке .

Пусть , т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом . Таким образом, .

Функция в этом случае называется интегрируемой в промежутке . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.

Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функция непрерывна и неотрицательна в промежутке , . В этом случае произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма равна сумме площадей прямоугольников с основанием и высотами (рис. 5).

Рис.5

Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и и отрезком оси .

Свойства определенного интеграла

Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения:

6. Если .

Если функции непрерывна на отрезке и - какая-нибудь первообразная для на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

Правую часть формулы часто обозначают символом (знак двойной подстановки от до ).

Пример1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. .

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем для любого и ,

Тогда:

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

Пример2. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной .

Тогда . Пересчитаем пределы интегрирования: при , а при .

Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы на отрезке , то справедлива следующая формула .

Пример3. Вычислить .

Решение. Обозначим , .

Тогда , .

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком , осью и прямыми и (рис.6) вычисляется по следующей формуле:

Если часть кривой находится под осью (рис.7), то площадь заштрихованной фигуры равна:

Пусть фигура ограничена двумя кривыми ,

и , (рис. 8). Тогда ее площадь вычисляется по формуле .

Рис.6

Рис. 7

Рис. 8

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Решение. Построим графики прямой и параболы (рис. 9).

Рис. 9

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Тогда получим:

Объем тела вращения

Пусть функция непрерывна на отрезке . В этом случае объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью , вычисляется по формуле: