Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим интеграл следующего вида: где R - рациональная функция, Пример16. Вычислить интеграл Решение. Положив Контрольные задания Вычислить неопределенные интегралы. 5.1 5.2 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5.12 5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
Указания к заданию 6. Пусть функция В каждом из полученных частичных промежутков Пусть Функция Выясним геометрический смысл суммы Римана
Рис.5
Таким образом, Свойства определенного интеграла Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Если Если функции
Правую часть формулы часто обозначают символом Пример1. Вычислить определенный интеграл Решение.
Замена переменной в определенном интеграле Пусть функция Тогда:
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой. Пример2. Вычислить определенный интеграл Решение. Сделаем замену переменной Тогда
Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.
Интегрирование по частям в определенном интеграле Теорема. Если функции Пример3. Вычислить Решение. Обозначим Тогда
Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры Площадь Если часть кривой
Пусть фигура ограничена двумя кривыми
Рис.6
Рис. 7
Рис. 8
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой Решение. Построим графики прямой и параболы (рис. 9). Рис. 9
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
Тогда получим:
Объем тела вращения Пусть функция
Если тело получено вращением кривой
Пример5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями Решение. На рис.10 показана фигура, образующая тело вращения. Рис. 10
Контрольные задания Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (6.1-6.20). Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси OX (6.1.1-6.1.20). Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY (6.2.1-6.2.20). 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20.
6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6. 6.1.7. 6.1.8. 6.1.9. 6.1.10. 6.1.11. 6.1.12. 6.1.13. 6.1.14. 6.1.15. 6.1.16. 6.1.17. 6.1.18. 6.1.19. 6.1.20.
6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5. 6.2.6. 6.2.7. 6.2.8. 6.2.9. 6.2.10. 6.2.11. 6.2.12. 6.2.13. 6.2.14. 6.2.15. 6.2.16. 6.2.17. 6.2.18. 6.2.19. 6.2.20.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|