Полное сопротивление в цепи переменного тока. Резонанс напряжений

Переменный ток – любой ток, изменяющийся со временем. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания. Наибольшее распространение в промышленности получил гармонический переменный ток. Этот ток получают с помощью установленных на электростанциях генераторов переменного тока. В нашей стране стандартная техническая частота вырабатываемого ими тока составляет 50 Гц.

Сопротивление, которое оказывается электрическая цепь переменному току, отличается от того, которое имеет место при наличии постоянного тока. В цепи с переменным током принято различать активное R и реактивное Х сопротивление. Активным обладают те элементы цепи, в которых электрическая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю, а реактивным - те элементы (конденсаторы и катушки индуктивности), в которых подобного преобразования не происходит. Сопротивление конденсатора при этом называют ёмкостным Х_C, а катушки индуктивным Х_L. Реактивным сопротивлением обладают те элементы электрической цепи, на которых разность фаз колебаний силы тока и напряжения составляет π/2. В элементах с чисто активным сопротивлением колебания силы тока и напряжения совпадают по фазе.

Рассмотрим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор.

Сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому

I=I_m sin(ωt- φ), (17.26)

где – разность фаз напряжения и силы тока.

Сумма напряжений на отдельных участках равна внешнему напряжению:

U=U_R +U_L+ U_C= U_m sinωt (17.27)

где U_R = U_mR sin(ωt- φ) - в фазе с током; (17.28)

U_L = U_mL sin(ωt- φ + π/2) – опережает силу тока по фазе; (17.29)

U_С = U_mС sin(ωt- φ - π/2) – отстаёт от силы тока по фазе. (17.30)

Подставим в (17.27) можно получить выражение для полного сопротивления.

U= U_mR sin(ωt- φ) + U_mL sin(ωt- φ + π/2)+ U_mС sin(ωt- φ - π/2)= U_m sinωt (17.31)

Однако более просто и наглядно удаётся это сделать с помощью векторных диаграмм (рис.17.7).

На рис.17.7 по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока I_m. так как во всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуда напряжений на участках отложим относительно этого вектора: вектор U_mR – в одной фазе с силой тока; вектор U_mL – с опережением силы тока по фазе на π/2, вектор U_mС – с отставанием от силы тока по фазе на π/2.

Суммируя три вектора, находим графически значения и U. Используя теорему Пифагора, имеем

U² _m= U² _mR + (U_mL - U_mС) ² (17.32)

Подставляя выражения этих амплитуд и учитывая закон Ома, находим

I² _mZ² = I² _m R²+ (I_m ωL - I_m/Cω) ² (17.33)

где Z– полное сопротивление цепи переменного тока, называемое импедансом. Получаем

(17.34)

где R-активное сопротивление, оно обуславливает выделение количества теплоты в цепи в соответствии с законом Джоуля-Ленца; Х_L-Х _С реактивное сопротивление, оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.

Если индуктивное и ёмкостное сопротивление цепи при их последовательном соединении будут одинаковы Х_L= Х_С, то Z=R. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. Такой случай вынужденных электрических колебаний называют резонансом напряжений.

(17.35)

Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов).

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω₀ электрической цепи называется электрическим резонансом.

Рис. 17.8 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U_C напряжения на конденсаторе к амплитуде U_m напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 17.8 называются резонансными кривыми.

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

 

Мощность переменного тока

При протекании переменного тока по участку цепи электромагнитное поле совершает работу, и в цепи выделяется джоулево тепло. Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна произведению мгновенных значений тока и напряжения: P= IU. Практический интерес представляет среднее за период переменного тока значение мощности

P=P_cp=I_mU_mcosωt·cos(ωt+φ) (17.36)

Здесь I_m и U_m – амплитудные значения тока и напряжения на данном участке цепи, φ – фазовый сдвиг между током и напряжением. Если участок цепи содержит только резистор с сопротивлением R, то фазовый сдвиг φ = 0:

(17.37)

Для того, чтобы это выражение по виду совпадало с формулой для мощности постоянного тока, вводятся понятия действующих или эффективных значений силы тока и напряжения:

и (17.38)

Средняя мощность переменного тока на участке цепи, содержащем резистор, равна

(17.39)

Если участок цепи содержит только конденсатор емкости C, то фазовый сдвиг между током и напряжением . Поэтому

(17.40)

Аналогично можно показать, что P_L = 0.

Таким образом, мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.

 

Примеры решения задач

Пример. Колебательный контур состоит из воздушного плоского конденсатора (расстояние между пластинами d=1мм, площадь поперечного сечения S=2 см² каждая) и соленоида без сердечника (длина ℓ=10см, площадь поперечного сечения S₁=2 см², число витков N=100). Пренебрегая сопротивлением контура, определите частоту ω₀ собственных колебаний контура.

Дано: d=1 мм=1∙10^-3 м; S=100 см²=10^-2 м²; ε=1; ℓ=10см=0,01м; S₁=2 см²=2∙10^-4 м²; N=100; μ=1.

Найти: ω₀.

Решение. Собственная частота колебательного контура

, (1)

где индуктивность соленоида

(2)

(μ₀=4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; μ- магнитная проницаемость среды; ℓ - длина соленоида; S₁- площадь его поперечного сечения; N - число витков соленоида) и ёмкость плоского конденсатора

(3)

(ε₀ – 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная; ε- диэлектрическая проницаемость среды; d - расстояние между пластинами конденсатора; S - площадь пластин конденсатора).

Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1) и учитывая, что (с=3∙10⁸ м/с – скорость распространения света в вакууме), найдём искомую частоту собственных колебаний конту р а:

.

Ответ: ω₀=2,12∙10⁷ рад/с.

 

Пример. Колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью С=40 нФ и катушку индуктивностью L=1,6 мГн. Определите максимальное напряжение U_m на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока I_m в колебательном контуре равна 1A. Сопротивлением контура пренебречь.

Дано: С=40нФ=40∙10^-8 Ф; L=1,6 мГн=1,6∙10^-3 Гн; I_m=1А; R=0.

Найти: U_m.

Решение. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора

, (1)

где q_m – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора ёмкостью С.

В случае свободных незатухающих колебаний (R=0) заряд на обкладках конденсатора совершает гармонические колебания по закону

q=q_mcosω₀t,

где собственная частота колебательного контура

(2)

Сила тока в колебательном контуре

,

где максимальная сила тока

I_m=ω₀q_m,

откуда

(3)

[учли формулу (2)].

Подставив выражение (3) в Формулу (1), найдём искомое максимальное напряжение на обкладках конденсатора

.

Ответ: U_m=200 В.

 

Пример. Частота свободных незатухающих электромагнитных колебании в контуре, содержащем катушку индуктивности L=0,5 Гн, составляет 50 Гц. Запишите для данного контура уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора в зависимости от времени, если максимальная энергия магнитного поля Wm в катушке составляет 4 мкДж.

Дано: L=0,5 Гн; ν₀=50 Гц; Wm =4 мкДж=4∙10^-6 Дж.

Найти: q(t).

Решение. В случае свободных незатухающих колебаний (R≈0) заряд на обкладках конденсатора совершает гармонические колебания по закону

q=q_mcosω₀t, (1)

где q_m - амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора с циклической

частотой

ω₀=2πν₀, (2)

Максимальная энергия магнитного поля в катушке

(3)

где I_m – амплитуда колебаний силы тока. Из уравнения (3)

. (4)

Продифференцировав уравнение (1) по времени, определим силу тока в колебательном контуре:

,

где амплитуда силы тока I_m=ω₀q_m. Тогда

(5)

Подставив выражение (4) в формулу (5) и учитывая (2), найдём амплитуду колебаний заряда

Вычисляя, получаем q_m=1,27∙10^-5 Кл

Подставив в уравнение (1) числовые значения q_m и ω₀, искомое уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения заряда на обкладках конденсатора примет вил:

q=1,27∙10^-5cos100πt, Кл.

Ответ: q=1,27∙10^-5cos100πt, Кл.

 

Пример. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С=100 пФ, катушки индуктивности L=0,01 Гн и резистора сопротивлением R=20 Ом. Определите: 1) период затухающих колебаний; 2) через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре уменьшится в е раз..

Дано: C= 100пФ =1∙10^-7 Ф; L=0,01 Гн; R=20 Ом.

Найти: 1) Т; 2) N.

Решение. Искомый период электромагнитных колебаний в контуре

(учли, что собственная частота контура и коэффициент затухания ).

Число полных колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды силы

тока в е раз,

, (1)

где время релаксации

.

Подставив это выражение в формулу (1), найдём искомое число полных колебаний:

.

Ответ: 1) Т=0,2 мс; 2) N=5.

 

Пример. Определите добротность Q колебательного контура, если собственная частота ω₀ колебательного контура отличается на 5% от частоты ω свободных затухающих колебаний.

Дано: ω₀ = 1,05 ω.

Найти: Q.

Решение. В реальном колебательном контуре (т.е. обладающем сопротивлением) частота ω свободных затухающих электромагнитных колебаний меньше собственной частоты ω₀ колебательного контура (при R≈0):

, (1)

где δ– коэффициент затухания.

Добротность колебательного контура

,

где логарифмический декремент затухания Т (Т- период затухающих колебаний). Учитывая приведённые формулу, найдём коэффициент затухания

. (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1), получаем

или

откуда искомая добротность

Ответ: Q=1,56

 

 

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: