Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Уравнения Колмогорова в теории потоков событий




Глава 1. Марковизируемые потоки событий

 

Рассмотрим некоторые классы потоков событий, обобщающие классы пуассоновских и рекуррентных потоков.

Модулированные пуассоновские потоки

 

Многочисленные исследования реальных потоков заявок, требований, сообщений, выполненные зарубежными и отечественными специалистами в различных областях, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей потоков (пуассоновских и рекуррентных) реальным данным. Поэтому актуальной является задача существенного расширения множества математических моделей случайных потоков однородных событий, а также развития методов их исследования.

По определению случайным потоком однородных событий называется последовательность моментов наступления рассматриваемых событий.

С другой стороны, обозначив при , случайным потоком однородных событий, будем называть последовательность .

Случайный поток однородных событий будем также определять в виде случайного процесса – числа событий рассматриваемого потока, наступивших за время , то есть на интервале .

Рассмотрим класс модулированных пуассоновских потоков.

Пусть задан некоторый случайный процесс и множество неотрицательных чисел .

Случайный поток однородных событий будем называть модулированным пуассоновским (MP-потоком), управляемым случайным процессом , если выполнены условия

,

.

Среди множества MP-потоков выделим класс марковских модулированных пуассоновских потоков (MMP-потоков).

Модулированный пуассоновский поток будем называть MMP-потоком, если управляющий процесс является цепью Маркова с непрерывным временем.

Можно рассмотреть и другие классы MP-потоков, управляемых случайными процессами из других классов.

В литературе для MP-потоков также встречается название дважды стохастические потоки.

MAP-потоки

 

Значительное разнообразие потоков определяется множеством MAP-потоков (Markovian Arrival Process). Их рассмотрение начнём с класса синхронных MAP-потоков.

Пусть задана цепь Маркова , определяемая матрицей её инфинитезимальных характеристик .

Случайный поток однородных событий будем называть синхронным MAP-потоком, если моменты наступления его событий совпадают с моментами изменения состояний управляющей этим потоком цепи Маркова .

Выделим некоторое состояние цепи Маркова , которое будем называть репродуктивным.

Случайный поток однородных событий будем называть рекуррентным PH-потоком (рекуррентным потоком фазового типа), если его события наступают тогда и только тогда, когда управляющая цепь попадает в репродуктивное состояние.

Очевидно, что в таком потоке длины интервалов стохастически независимы и одинаково распределены, поэтому рассматриваемый поток является рекуррентным. А так как длины интервалов имеют фазовое или PH-распределе-ние, то использованное для него название оправдано.

Теперь выделим некоторое подмножество состояний управляющей цепи. Элементы будем называть репродуктивными состояниями. Дадим следующее определение.

Случайный поток однородных событий будем называть полумарковским PH-потоком (полумарковским потоком фазового типа), если его события наступают тогда и только тогда, когда управляющая цепь попадает в любое репродуктивное состояние.

Определённые выше потоки, принадлежат достаточно широкому классу общих MAP-потоков.

Для определения общего MAP-потока, рассмотрим MMP-поток, и будем полагать, что для любых заданы вероятности того, что в момент перехода цепи Маркова из состояния в состояние наступает ещё одно событие, а с вероятностью событие в этот момент не наступает. Определённый таким образом случайный поток однородных событий будем называть общим MAP-потоком или просто MAP-потоком.

Для того, чтобы вернуться к MMP-потоку достаточно в MAP-потоке положить все .

Если в MAP-потоке положить все , а вероятности задать в виде

то получим полумарковский PH-поток.

Если в предыдущем случае множество включает одно единственное состояние, то получаем рекуррентный PH-поток.

Все вышеперечисленные потоки являются ординарными. Определим достаточно общую модель неординарного потока.

BMAP-потоки

 

Потоки данного класса предложены Д.Лукантони в 1991 году. Они получили название групповых марковских входящих потоков (Batch Markovian Arri

val Process – BMAP).

Заявки в BMAP-потоке поступают группами случайного числа. Моменты реализации групп образуют MAP-поток. Будем полагать, что количество заявок в различных группах стохастически независимы и определены распределениями , если управляющая потоком цепь Маркова находится в состоянии , а также распределениями в момент перехода цепи из состояния в состояние .

Таким образом, для задания BMAP-потока необходимо задать инфинитезимальную матрицу , набор неотрицательных чисел , а также набор распределений вероятностей числа заявок в группах, поступающих в потоке.

Очевидно, что идентификация реальных потоков моделями BMAP-потоков представляет определённые проблемы в связи с необходимостью оценки значений большого числа параметров таких потоков, поэтому ниже будут использованы, главным образом модели MAP-потоков.

Полумарковские потоки

 

Рассмотрим двумерный однородный марковский случайный процесс с дискретным временем , первая компонента , которого принимает значения из некоторого дискретного множества. Для определённости будем полагать, что

.

Вторая компонента рассматриваемого процесса принимает неотрицательные значения (вообще говоря, из непрерывного множества).

По определению, марковской переходной функцией двумерного однородного марковского случайного процесса называется

. (1.1)

Будем рассматривать только такие двумерные случайные процессы , для марковских переходных функций которых выполняются равенства

= , (1.2)

то есть условное распределение (1.1) не зависит от второго условия (не зависит от значений второй компоненты). В этом случае марковскую переходную функцию будем обозначать

= .

Матрицу , элементами которой являются функции , будем называть полумарковской.

Случайный поток однородных событий

(1.3)

будем называть полумарковским или SM-потоком, заданным матрицей , если для длин его интервалов выполняются равенства

.

В силу свойства (1.2), первая компонента рассматриваемого двумерного марковского процесса также является марковским процессом, точнее цепью Маркова с дискретным временем и матрицей вероятностей переходов за один шаг, определяемой равенством

.

Эта цепь Маркова для рассматриваемого SM-потока называется вложенной по моментам времени (3).

Вторая компонента , вообще говоря, является немарковским процессом (последовательностью зависимых случайных величин), но для её элементов можно определить условные функции распределения

,

а также по формуле полной вероятности в стационарном режиме и безусловную функцию распределения

,

где – стационарное распределение вероятностей значений цепи Маркова , которое определяется системой уравнений

.

Эту систему уравнений можно переписать в матричном виде, обозначив векторы

,

следующим образом

.

Если компоненты двумерного процесса , условно независимы, то есть для элементов полумарковской матрицы выполняется равенство

,

то полумарковский поток будем называть потоком марковского восстановления.

 

Уравнения Колмогорова в теории потоков событий

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...