Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Метод асимптотического анализа MMP-потоков в условии предельно редких изменений состояний потока




 

Как было указано выше, MMP-поток определяется набором неотрицательных величин и цепью Маркова , заданной матрицей её инфинитезимальных характеристик.

Значения цепи Маркова , определяющие условные интенсивности наступления событий в потоке, будем называть состояниями MMP-потока.

Значения инфинитезимальных характеристик определяют продолжительности времени пребывания потока в -ом состоянии.

В системе уравнений для MMP-потока обозначим получим систему

. (1.67)

Выше было рассмотрено асимптотическое условие растущего времени

В этом разделе рассмотрим асимптотическое условие предельно редких изменений состояний MMP-потока, формализуя которое, положим при . При выполнении этого условия продолжительность времени пребывания потока в -ом состоянии неограниченно возрастает, что оправдывает название рассматриваемого асимптотического условия.

Систему (1.67) перепишем в виде

(1.68)

Будем полагать, что для решения этой системы выполняются начальные условия

где значения определены выше.

Решение системы (1.68), зависящее от малого параметра , обозначим

(1.69)

тогда для получаем следующую задачу Коши

(1.70)

Эту задачу будем решать в асимптотическом условии

Асимптотика первого порядка

 

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Если существует предел

то

(1.71)

Доказательство.

В задаче (1.70) выполним предельный переход при , получим равенства

которые представляют собой совокупность по всем независимых задач Коши, каждая из которых имеет следующее решение

совпадающее с (1.70).

Теорема доказана.

Следствие. В условии предельно редких изменений состояний MMP-потока распределение вероятностей числа событий потока, наступивших за время , является взвешенной с весами суммой пуассоновских распределений с параметрами , то есть имеет вид

(1.72)

Доказательство.

Так как для характеристической функции величины можно записать равенство

то при в силу (1.69) и (1.71) имеет место приближённое (асимптотическое) равенство

из которого следует равенство (1.72).

Следствие доказано.

Равенство (1.71) будем называть асимптотикой первого порядка в условиях предельно редких изменений состояний MMP-потока.

Равенство (1.72) будем называть аппроксимацией первого порядка допредельного распределения в асимптотическом условии предельно редких изменений состояний MMP-потока.

Асимптотика произвольного порядка

 

Для более детального исследования допредельной модели, решение задачи Коши (1.70) запишем в виде

и докажем следующее утверждение.

Теорема 4. Если для функции существует разложение

, (1.73)

то коэффициенты этого разложения имеют вид

. (1.74)

Доказательство.

Подставив разложение (1.73) в (1.70), получим равенства

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , при для , получим задачу Коши

рассмотренную выше, решение которой имеет вид (1.71).

При , для получим следующую задачу Коши

в которой, аналогично вышеизложенному, система представляет собой совокупность независимых по всем задач Коши для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями, решение которых имеет вид совпадающий с (1.74).

Теорема доказана.

Доказанная теорема формирует рекуррентный алгоритм (1.74) последовательного нахождения асимптотик всё более высокого порядка .

Для нахождения соответствующих аппроксимаций распределения вероятностей целесообразно воспользоваться процедурой, изложенной в десятом разделе этой главы, реализация которой сводится к численному либо аналитическому интегрированию (1.64).

 

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...