Метод асимптотического анализа MMP-потоков в условии предельно редких изменений состояний потока
⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Как было указано выше, MMP-поток определяется набором неотрицательных величин и цепью Маркова , заданной матрицей её инфинитезимальных характеристик. Значения цепи Маркова , определяющие условные интенсивности наступления событий в потоке, будем называть состояниями MMP-потока. Значения инфинитезимальных характеристик определяют продолжительности времени пребывания потока в -ом состоянии. В системе уравнений для MMP-потока обозначим получим систему . (1.67) Выше было рассмотрено асимптотическое условие растущего времени В этом разделе рассмотрим асимптотическое условие предельно редких изменений состояний MMP-потока, формализуя которое, положим при . При выполнении этого условия продолжительность времени пребывания потока в -ом состоянии неограниченно возрастает, что оправдывает название рассматриваемого асимптотического условия. Систему (1.67) перепишем в виде (1.68) Будем полагать, что для решения этой системы выполняются начальные условия где значения определены выше. Решение системы (1.68), зависящее от малого параметра , обозначим (1.69) тогда для получаем следующую задачу Коши (1.70) Эту задачу будем решать в асимптотическом условии Асимптотика первого порядка
Можно доказать следующее утверждение. Теорема 3. Если существует предел то (1.71) Доказательство. В задаче (1.70) выполним предельный переход при , получим равенства которые представляют собой совокупность по всем независимых задач Коши, каждая из которых имеет следующее решение совпадающее с (1.70). Теорема доказана. Следствие. В условии предельно редких изменений состояний MMP-потока распределение вероятностей числа событий потока, наступивших за время , является взвешенной с весами суммой пуассоновских распределений с параметрами , то есть имеет вид
(1.72) Доказательство. Так как для характеристической функции величины можно записать равенство то при в силу (1.69) и (1.71) имеет место приближённое (асимптотическое) равенство из которого следует равенство (1.72). Следствие доказано. Равенство (1.71) будем называть асимптотикой первого порядка в условиях предельно редких изменений состояний MMP-потока. Равенство (1.72) будем называть аппроксимацией первого порядка допредельного распределения в асимптотическом условии предельно редких изменений состояний MMP-потока. Асимптотика произвольного порядка
Для более детального исследования допредельной модели, решение задачи Коши (1.70) запишем в виде и докажем следующее утверждение. Теорема 4. Если для функции существует разложение , (1.73) то коэффициенты этого разложения имеют вид . (1.74) Доказательство. Подставив разложение (1.73) в (1.70), получим равенства . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , при для , получим задачу Коши рассмотренную выше, решение которой имеет вид (1.71). При , для получим следующую задачу Коши в которой, аналогично вышеизложенному, система представляет собой совокупность независимых по всем задач Коши для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями, решение которых имеет вид совпадающий с (1.74). Теорема доказана. Доказанная теорема формирует рекуррентный алгоритм (1.74) последовательного нахождения асимптотик всё более высокого порядка . Для нахождения соответствующих аппроксимаций распределения вероятностей целесообразно воспользоваться процедурой, изложенной в десятом разделе этой главы, реализация которой сводится к численному либо аналитическому интегрированию (1.64).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|