Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема 2: От предложений естественного языка к их структурам (перевод предложений на ЯКЛВ)

Введение в формальную логику

Учебное пособие

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

Глава 3

Классическая логика высказываний

В этой главе изучаются структуры предложений с точностью до простых предложений, т.е. внутренняя структура простых предложений не рассматривается и параметры вводятся только для простых предложений. Учитываются только способы соединения простых предложений. Представление структур предложений необходимо для решения, как минимум, двух задач.

Во-первых, логические формы предложений будут специфицированы: среди всех возможных структур предложений будут выделены те, которые порождают только истинные предложения (законы логики), те, которым соответствуют только ложные, и те, которым соответствуют как истинные, так и ложные предложения.

Второе применение структур предложений связано с изучением элементарного логического действия – шага вывода. Для того чтобы определить, является ли умозаключение логически правильным (следует ли из информации посылок информация заключения), необходимо проанализировать его структуру, а для этого надо представить структуры (предложений-) посылок и (предложения-)заключения.

Тема 1: Язык классической логики высказываний (ЯКЛВ)

Основные понятия, которые необходимо усвоить: · формализованные языки (их основные отличия от естественных языков) · логические и нелогические символы ЯКЛВ · правильно построенное (осмысленное) выражение теории КЛВ (формула ЯКЛВ) · местность логических связок · подформула · главный знак формулы · нагруженное дерево формулы · объектный язык и метаязык

Определения и примеры

Структуры языковых выражений формализованных языков могут строиться только из символов, перечисляемых в алфавите, в частности это относится и к языку первой из изучаемых здесь логических теорий. Исходные символы языка КЛВ делятся на три группы: те, которые несут логическую информацию; те, которым соответствует нелогическая информация; наконец, вспомогательные символы, указывающие на порядок построения выражения.

Алфавит ЯКЛВ (перечень исходных символов)

1. Нелогические символы:

p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ … (и т.д.), –

называются пропозициональные (или высказывательные) переменные[2].

2. Логические символы:

Ø, &, Ú, É, º, ^, Т.

3. Технические символы: левая и правая скобки – (,).

Еще раз: из этих символов (и только из них) строятся в логике высказываний структуры предложений естественного языка.

Логические символы (за исключением двух) вводились как аналоги некоторых выражений естественного языка. В нижеследующей таблице, дающей краткое предварительное ознакомление с введенными логическими символами, в скобках указаны другие распространенные способы обозначений соответствующих связок (но не все).

символ	название	приблизительное соответствие в естественном языке
Ø (~, ¯)	отрицание	"неверно что", "ложно", "не имеет места"
& (Ù)	конъюнкция	соединительное "и", союзы "а", "но", выражения "а также", "как … так и…"
Ú	дизъюнкция	"или", "либо"
É (Þ,®)	импликация	отношение следования, условная связь "если … то…"
º (Û,«)	эквиваленция	"если и только если", "тогда и только тогда когда", "эквивалентно", "равносильно"
^ (0)	константа лжи	нет соответствий
Т (1)	константа истины	нет соответствий

Хотя константам истины и лжи ничего не соответствует в естественном языке (нет предложений такой структуры), их введение имеет ряд достоинств.

Формула ЯКЛВ (структура предложения естественного языка):

1. всякая пропозициональная переменная (p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ …) является формулой;

2. символы ^, Т являются формулами;

3. если последовательность символов А является формулой, то последовательность символов ØА также есть формула;

4. если последовательности символов А и В являются формулами, тогда следующие последовательности символов также формулы: (А&В), (АÚВ), (АÉВ), (АºВ);

5. формулой является только последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.

Примеры формул

1. р – по п.1 определения формул

2. s₁₁₂ – по п.1

3. Т – формула по п.2

4. Øр – по пп.1 и 3 (р – формула, отрицание любой формулы – также формула)

5. ØØØØр – формула по пп.1,3 (р – формула, отрицание любой формулы – также формула, поэтому Øр – формула; раз Øр – формула и отрицание любой формулы – в частности этой – опять дает нам формулу, то и ØØØр – формула, наконец еще раз применяем п.2 определения формулы и получаем ØØØØр)

6. (s&q) – формула по пп.1,4

7. ((s&q)& ^) - формула по пп.1,2,4

Договоренность об опускании внешних скобок В дальнейшем внешние скобки (первую открывающуюся и последнюю закрывающуюся) будем опускать (это не приведет к неоднозначностям в прочтении формул). Так, например, формулы ((s&q)&^), ((rÚq)ºs), ((sºs)º(rºr)) в соответствии с этой договоренностью будем записывать (s&q)&^, (rÚq)ºs, (sºs)º(rºr).

Примеры формул (продолжение)

8. Ø(s&q)ÚØр

9. (Ø(s&q)ÚØр)ºr

10. (Ø(s&q)ÉØр)É ((rÚr₂)Úr₁)

Местность связок

Логические связки характеризуются с точки зрения местности. Местность логической связки – количество формул, которое нужно присоединить к ней, чтобы получить формулу.

Ø – одноместная (унарная) связка.

&, Ú, É, º – двухместные (бинарные) связки.

^, Т – нульместные связки (сколько нужно иметь в распоряжении формул, чтобы превратить запись ^ в формулу (достроить ее до формулы)? Ответ – нисколько, или – 0, т.к. запись ^ уже является формулой, в отличие от &, например.)

Примеры последовательностей символов, не являющиеся формулами (т.е. с точки зрения данного языка – неосмысленные, не являющиеся структурами предложений)

1.(р) – ошибка: в скобки заключаем только формулы, содержащие бинарные связки (&, Ú, É, º)

2. (Ør) – та же ошибка

3. (^) – та же ошибка

4. rq – ошибка: две формулы (в данном случае r и q) должны быть соединены какой-то двухместной связкой

5. rØq – аналогичная ошибка: две формулы (в данном случае r и Øq) должны быть соединены какой-то двухместной связкой (r и q не могут быть связаны отрицанием – Ø, так как это одноместная связка)

6. Érq – ошибка: слева и справа от любой двухместной связки, в частности импликации, должны стоять формулы, слева от импликации вообще ничего нет (справа ситуация, в общем-то, не лучше, поскольку после É стоит неосмысленная последовательность символов (= не формула))

7.ÚqÚs – аналогичная ошибка: слева и справа от любой двухместной связки, в частности дизъюнкции (Ú), должны стоять формулы, но слева от первой (слева) дизъюнкции вообще ничего нет (аналогия с записями в алгебре: следующие записи очевидно неосмысленны: ×a×b,:a:b, – здесь тип синтаксической ошибки тот же, что и в ÚqÚs)[3]

8. (r,q) – ошибка: в построенном языке не используется запятая, поэтому никакая запись с запятой не будет формулой этого языка

9. рассмотрим четыре записи: r&Úq, rÚ&ºq, rÉÚq, r&&Úq – ошибка во всех четырех одна и та же: две двухместные связки не могут идти подряд (аналогия с записями в алгебре: вы понимаете, что бессмысленно писать х+×у, z-:x, x-++z, у:-×х; в формулах данного примера аналогичная ошибка).

О скобках

Скобки в формулах построенного языка выполняют ту же роль, что и при построении алгебраических выражений: они указывают последовательность построения и вычислений. Так, вы понимаете, что в выражении (10-(9-8)) сначала вычисляется значение (9-8), а затем значение всего выражения, а в выражении ((10-9)-8) сначала вычисляется первая слева разность (10-9), а затем вторая, – порядок вычисления указан расстановкой скобок.

Рассмотрим 2 формулы: Ø(sºq) и Øsºq. Первая утверждает: неверно, что s эквивалентно q (неверно, что информация предложения s та же, что и в предложении q); вторая: ложность s эквивалентна истинности q, – а это разные вещи. И разница в записи этих двух видов (структурной) информации достигается использованием скобок.

Подформула формулы А - любая формула, входящая в состав А.

Пример 1 Формула: Øsºq.

Ее подформулами являются: s, q, Øs, Øsºq.

Пример 2 Формула Ø(sºq).

Ее подформулами являются: s, q, sºq, Øsºq.

Пример 3 Формула (Ø(s&q)ÉØр)É((rÚr₂)Úr₁).

Ее подформулы: s, q, p, Øр, s&q,Ø(s&q), Ø(s&q)ÉØр, rÚr₂, (rÚr₂)Úr₁, (Ø(s&q)ÉØр)É ((rÚr₂)Úr₁).

Обратите внимание, что каждая формула является своей подформулой.

Главный знак формулы – последний при построении данной формулы логический символ.

Примеры. Для следующих формул их главные знаки подчеркнуты.

Øs º q

Ø (sºq)

Ø(s&q) Ú Øр

Ø (s&(qÚØр))

Øs & (qÚØр)

(Ø(s&q)ÚØр) º r

(Ø(s&q)ÉØр) É ((rÚr₂)Úr₁)

Главный знак в формуле играет роль аналогичную последнему вычислению (операции, значение которой вычисляется в последнюю очередь). Так, чтобы понять, какое число задает выражение 8+2×7², необходимо произвести три вычисления, из которыхпоследнее – суммирование. С точки зрения построения и порядка вычисления оно является в этой записи тем, что для формул мы назвали главным знаком.

Терминология В формуле вида А&В формулы А и В называются конъюнктами. В формуле вида АÚВ формулы А и В называются дизъюнктами. В формуле вида АÉВ формула А называется антецедент (импликации), а формула В – консеквент (импликации).

Упражнения

1. Являются ли данные последовательности символов формулами языка КЛВ? Если нет, то укажите, где ошибка (ошибки).

а) p₁₂₇

б) q₅₊₇

в) r₄&s₇

г) &p&q

д) (&pÚq)

е) ØрØq

ж) É(рq)

з) (Øр,Øq)

и) (s& r)É (º)

к) рÉ s É q

л) (ØрÉºq)&(Ø(q(Úp))

м) (Øр&q)Øº(qÚp)

н) ØØØ(ØрÉq)&Ø(qÚp)

о) (ØрÉq)ÚØ(qÚp)(рÚØq)É(q&r)

п) (р Ú Øq) É (q &(s& r))

р) T

с) Tp

т) T&p

у) Ø^

ф) (Ø^)

х) (^^^)

2. Для следующих формул укажите их главные знаки и все их подформулы. Постройте их нагруженные деревья.

(a) Øр&q

(b) Ø(р&q)

(d) Ø(Ø(Øрºq)&Ø(qÚp))

(e) ØØ(Øрºq)&Ø(qÚp)

3. В каких из нижеследующих предложений союзы «и», «но», «а» соответствуют конъюнкции КЛВ?

(a) Сегодня у нас 2 пары английского и одна пара математики.

(b) Тогда я решил: умру, но выучу хеттский язык!

(d) Саша и Таня одного возраста.

(e) Саша и Таня – студентки.

(f) Если мы поможем ему, то и он нам тоже.

4. Укажите несколько предложений русского языка (необязательно истинных), которые имеют следующую логическую форму

а) Øp

б) p&q

в) ØpÚØq

г) ØpÉq

д) p º (r Ú Øs)

е) (pÉr)&(ØpÉs)

ж) Ø (p&q)&(sÉp)

Тема 2: От предложений естественного языка к их структурам (перевод предложений на ЯКЛВ)

Пояснения и примеры

Для того, чтобы правильно перевести предложение на язык классической логики высказываний, т.е. найти его структуру с точки зрения ЯКЛВ надо, во-первых, чтобы результат вашего перевода был формулой ЯКЛВ; и уже во вторую очередь чтобы эта формула действительно соответствовала структуре рассматриваемого предложения.

В процедуре определения структуры предложения (с точки зрения ЯКЛВ) можно выделить следующие последовательные шаги.

(1) Выделяем все простые предложения, входящие в состав данного предложения.

(2) Для каждого из этих предложений вводим свой символ (свою пропозициональную переменную).

(3) Соединяем их так, чтобы отобразить смысл исходного предложения. (Иногда надо переформулировать предложение, чтобы стала очевидна его логическая структура.)

Структуры предложений без условной связи

Пример 1 Предложение: " И ты, и я знаем японский язык ".

(1) В состав этого предложения этого предложения входят два элементарных:

- "ты знаешь японский язык"

- "я знаю японский язык".

(2) Введем для них (какую-нибудь) символизацию:

- "ты знаешь японский язык" – p,

- "я знаю японский язык" – q.

(3) В предложении утверждается истинность обоих простых предложений, поэтому его структурой является формула p&q.

Неверно было бы в качестве итоговой формулы выписать такую: &p&q. Эта запись вообще не является формулой, и мы не сможем ее анализировать, не сможем с ней работать (а языковые структуры вводятся, как вы могли догадаться, не ради удовольствия, а ради изучения их свойств, классификации и проч.). Хотя в русском языке, как и в некоторых других, допустима конструкция с двойным "и": "И А.С.Пушкин, и М.Ю.Лермонтов знали французский" или с "ни": "Ни Чехия, ни Словакия не являются монархиями."

Пример 2 Ни Чехия, ни Словакия не являются монархиями.

простые предложения, входящие в состав предложения	их символизация
Чехия является монархией.	p
Словакия является монархией.	q

Предложение 2 явным образом содержит два отрицания и неявно – соединительное "и" (Чехия не является монархией, и Словакия не является монархией), поэтому формулой, соответствующей структуре данного высказывания, является: Øp&Øq.

Пример 3 Или я ничего не понимаю в людях, или он нас обманывает.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я (хотя бы кое-как) разбираюсь в людях.	p
Он нас обманывает.	q

Как и в примере 1, неверен вариант: ÚØpÚq. Опять, хотя в русском языке допустимо употребить два "или", как в нашем примере, в языке логики высказываний это недопустимо: результат не будет осмысленной последовательностью символов (формулой). Связка Ú соединяет две формулы, которые располагают слева и справа от нее. р, q – формулы (по определению), значит pÚq – тоже формула, но ÚpÚq – не формула. Превратить эту запись в формулу можно, заполнив место перед первой дизъюнкцией: …ÚØpÚØq (например, sÚØpÚØq); но тогда результат перевода не отразит структуру исходного предложения) или убрав первую дизъюнкцию.

Правильный вариант: ØpÚq.

Пример 4 Брюссель, Амстердам и Париж расположены в Западной Европе.

простые предложения, входящие в состав предложений 7, 8	символизация
Брюссель расположен в Западной Европе.	p
Амстердам расположен в Западной Европе.	q
Париж расположен в Западной Европе.	r

Если в формуле несколько подформул соединены конъюнкцией, например, так: ((А₁ &А₂) &А₃)&А₄, - расстановка скобок не имеет значения. Данная формула несет ту же информацию, что и (А₁&А₂)&(А₃ &А₄), и А₁ &(А₂ &(А₃ &А₄)), и (А₁&(А₂&А₃))&А₄) (это утверждение обосновывается ниже в одном из упражнений). Поэтому в таких конструкциях скобки можно вообще опустить.

То же самое верно для дизъюнкции и для эквиваленции.

С учетом этого замечания структура примера 4 определяется так: p&q&r.

Пример 5 Из следующих городов: Екатеринбург, Новосибирск, Одесса, Житомир, - по меньшей мере один расположен в Европе.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Екатеринбург расположен в Европе.	p
Новосибирск расположен в Европе.	q
Одесса расположена в Европе.	r
Житомир расположен в Европе.	s

Выражению по меньшей мере один в данном предложении соответствует нестрогое или.

Структура предложения 5: pÚqÚrÚs

Пример 6 Если моя бабушка слушает Эминем, то дедушка предпочитает музыку П.Чайковского.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Моя бабушка слушает Эминем.	p
Мой дедушка предпочитает музыку П.Чайковского.	q

В этом предложении выражение если – то не вводит условную связь (т.е. не утверждается, что из первого вытекает второе), в нем просто сообщается, что бабушка такая, а дедушка – такой.

Структура предложения 6: p&q

Структуры предложений с условной связью: если - то

Структуры А₁&А₂ и А₂&А₁ несут одну и ту же информацию[4], поэтому если вместо правильного варианта (скажем)p&q, вы определите структуру предложения как q&р, это не будет грубой ошибкой. То же относится к А₁Ú А₂ и А₂ÚА₁. Но в условных структурах (если А, то В) нельзя путать условие и следствие. Действительно, одно дело сказать Если N.N. был на Красной площади, значит он был в Москве, и другое – Если N.N. был в Москве, значит он был на Красной площади. Первое предложение истинно, второе – необязательно, а разница между ними только в том, что поменяли местами условие и следствие.

Следующие типы условной связи различны:

- выражение следования в одну сторону: «если…, то…», «…, если…»

- выражение следования в одну сторону «…, только если», «только если…, …»

- выражения равносильности («если и только если», «эквивалентно», «тогда и только тогда» и т.д.)

Выражение "только" в условной связи меняет местами антецедент и консеквент (по отношению к высказыванию без "только"). Сравните два предложения: "NN. придет, если его пригласят" и "NN. придет, только если его пригласят". Первое говорит, что если вы пригласили NN., то можете быть спокойны: он придет; второе предложение утверждает: если вы увидели NN. у кого-то в гостях, значит его точно пригласили, не сам притащился. "Только" поменяло условие и вывод импликации.

2-й вариант определения структуры условного высказывания с только такой: условие записывается под отрицанием и следствие тоже, но местами не меняются, т.е. записи А, только если В также соответствует формула ØАÉØВ.

Так, утверждение "NN. придет, только если его пригласят" (В, только если А) можно переформулировать как " Если NN. не пригласят, то он не придет" (Если не А, то не В).

Поскольку АÉВ (А достаточное условие для В) эквивалентно ØВÉØА, то утверждение о достаточности можно записывать и по 2-му варианту - ØВÉØА, но мы не будем в дальнейшем пользоваться этой возможностью.

Пример 7 Я приду вовремя, если не попаду в пробку.

простые предложения, входящие в состав предложения символизация

Я приду вовремя. p

Я попаду в пробку. q

Логические связки в данном предложении: "если то" (É) и отрицание (Ø).

Условие: Я не попаду в пробку.

Следствие: Я приду вовремя.

Условие помещаем до импликации, следствие – после.

Структура предложения: ØqÉp.

Пример 8 Я приду вовремя, только если не попаду в пробку.

простые предложения, входящие в состав предложения символизация

Я приду вовремя. p

Я попаду в пробку. q

"Только" меняет местами антецедент и консеквент импликации, поэтому

структура данного предложения: pÉØq.

Пример 9 Я приду вовремя, если и только если не попаду в пробку.

простые предложения, входящие в состав предложения символизация

Я приду вовремя. p

Я попаду в пробку. q

"если и только если" – эквиваленция – º.

Структура предложения: pºØq.

Таким образом,

«Если В, то А» = «А, если В» Þ ВÉА «Только если В, (верно) А»= «А, только если В» Þ АÉВ (илиØВÉØА) «А, если и только если В» Þ АºВ (или (А É В)&(ВÉА))

Рассмотрим 2 предложения.

Пример 10 Если сегодня тринадцатое число и пятница, то мне не везет.

Пример 11 Сегодня тринадцатое число, и если сегодня (к тому же) пятница, то мне не везет.

простые предложения, входящие в состав предложений 8, 9 символизация

Сегодня тринадцатое число. p

Сегодня пятница. q

Сегодня мне везет. r

Некоторые студенты определяют структуру предложения 8 так: p&qÉØr. Это неверно, т.к. запись p&qÉØr не является формулой, поскольку она допускает двоякое прочтение: либо (p&q)ÉØr, либо p&(qÉØr). (Сравните с арифметической записью 4-3-1. В каком порядке производить вычисления? Без расстановки скобок, ответа на этот вопрос нет[5]).

Далее, предложениям (1) и (2) соответствуют разные формулы, т.к. элементарные предложения p, q и r по-разному соединены в предложениях (1) и (2). В самом деле, первое предложение говорит о том, что кому-то не везет (r) если в наличии оказываются два условия: нынче 13-ое число и, кроме того, пятница (p&q). О том, в какой день (в какое число) произносится данное предложение, мы – в первом предложении – не знаем, поэтому структура примера 10 имеет вид (p&q)⊃Ør. Второе предложение сообщает, что оно формулируется 13-ого числа (p), и (&)далее сообщает, что имеется условная связь: если этот день выпал на пятницу (q), то кому-то (автору предложения) в этот день не повезет (r). Откуда получаем, что структура предложения 11: p&(q⊃Ør).

Пример 12 Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в этом материале и у меня будет свободное время.

простые предложения, входящие в состав предложения символизация

Я опоздаю. p

Я объясню тебе задание. q

Я разберусь в этом материале. s

У меня будет свободное время. r

В этом предложении

условия:

Я не опоздаю;

Я разберусь в этом материале, и у меня будет свободное время;

и следствие:

Я объясню тебе это задание.

Второе из условий, разумеется, состоит из двух, но мы выделяем как одно условие предложение, которое введено с помощью если.

В записи А É В до импликации помещается условие, после – следствие.

Структура предложения 12: ØpÉ((s&r)Éq)

Расстановка скобок (ØpÉ(s&r))Éq неверна!

Если непонятно почему, прочитайте эту структуру в соответствии с введенной символизацией. Получится так: "Я объясню тебе задание (q), если из того, что я не опоздаю(Øp) следует (É), что я разберусь в материале и у меня будет свободное время", т.е. я объясню тебе задание, если ты мне докажешь, что из чего-то что-то следует. Как видите, на выходе получается предложение с другим (странным) смыслом.

2-й возможный вариант структуры примера 12 получим, если «соберем» все условия с помощью «и» (&), заключим их в скобку и поместим до импликации, а следствие – после: (Øp&s&r)Éq.

2-й вариант менее точно отражает структуру примера 12, но формулы ØpÉ((s&r)Éq) и (Øp&(s&r))Éq несут одну и ту же информацию – логически эквивалентны (пока выражение логически эквивалентны пусть означает для вас в некотором смысле одно и то же; строгое определение понятия логической эквивалентности дается в теме 3 (разве что вы изучали логику и запомнили это определение)).

Если вариант 2 кажется вам проще и понятнее, определяйте структуру предложений типа примера 12 как в варианте 2.

Неверно в качестве структуры примеру 12 сопоставить формулу ØpÉ(qÉ(s&r)) или (Øp&q)É(s&r), поскольку в этих формулах условие (s&r) поставлено на место следствия (после импликации), а следствие q – на место условия (до импликации).

Пример 13 Если завтра суббота или воскресенье, то я высплюсь, если сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Завтра суббота.	p
Завтра воскресенье.	q
Я высплюсь.	s
Сосед сверху будет петь.	r
Сосед снизу продолжает ремонт.	r₁

В этом предложении

условия:

Завтра суббота или воскресенье;

Сосед сверху не будет петь, а снизу – продолжать ремонт;

и следствие:

Я высплюсь.

Структура предложения 13: (pÚq) É ((Ør&Ør₁) É s).

2-й вариант структуры примера 13: ((pÚq) & (Ør&Ør₁))És.

Пример 14 Если монета станет ребром, я пойду на занятия и даже послушаю преподавателей, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Монета станет ребром.	p
Я пойду на занятия.	q
Я буду слушать, что говорят преподаватели на занятиях.	r
Погода будет хорошей.	s
У меня плохие предчувствия.	p₁

Структура предложения: pÉ((s&Øp₁)É(q&r)).

Или так: (p&s&Øp₁)É(q&r).

Расстановка скобок (pÉ((s&Ø p₁))É(q&r) неверна!

Пример 15 Если верно, что если ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников, значит ты шотландец.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой).	p
Ты болеешь за противников англичан.	q
Ты шотландец.	r

А в этом предложении ситуация такая: ты шотландец, если из чего-то что-то следует, т.е. следствие – Ты шотландец, а условие Если ты наблюдаешь за состязанием англичан (с какой-то национальной командой), ты болеешь за их противников.

Структура предложения: (pÉq)Ér.

Расстановка скобок pÉ(qÉr) неверна.

Пример 16 Если монета станет ребром, я пойду на занятия, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий, в противном случае [т.е. если все-таки выпадет орел или решка] я пойду на ипподром или же останусь дома и предамся размышлениям о смысле жизни.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Монета станет ребром.	p
Я пойду на занятия.	q
Погода будет хорошей.	r
У меня плохие предчувствия.	s
Я пойду на ипподром.	p₁
Я останусь дома.	q₁
Я буду размышлять о смысле жизни.	r₁

Структура предложения: (pÉ((r&Ø s)Éq))&(ØpÉ(p₁ Ú (q₁&r₁))

Пример 17 Если ты знаешь английский, немецкий, французский, итальянский, испанский, польский, китайский, японский и русский языки, ты полиглот.

С учетом замечания об опускании скобок, структуру примера 17 можно выразить так на ЯКЛВ (символизацию восстановите сами) (p&q&r&s&p₁&q₁&r₁&s₁&p₂)Éq₂.

Пример 18 Я поеду в январе в Египет, разве что завалю сессию.

Это предложение без изменения смысла можно переформулировать так: Если я не завалю сессию, я поеду на Мальту.

Выражение разве что вводит условие с отрицанием и может быть заменено на если не.

разве что = если не

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я поеду в январе на Мальту.	p
Я завалю сессию.	q

Структура примера 18: ØqÉр.

Пример 19 Если я пью кофе, я бодр и радостен, разве что кто-то нахамил или подложил свинью.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я пью кофе.	p
Я бодр.	q
Я радостен.	r
Кто-то мне нахамил.	s
Кто-то подложил мне свинью.	s₁

В этом предложении два условия: первое введено с помощью если («Я пью кофе»), второе с помощью разве что («Кто-то нахамил мне или подложил свинью») и, значит, есть условие с отрицанием; следствие: «Я бодр и радостен».

Структура примера 19 (1-й вариант): рÉ(Ø(sÚ s₁)É(q&r)).

Неверно было бы поместить отрицание перед каждой переменной, т.е. вместо Ø(sÚs₁) записать (ØsÚØs₁). Во-первых, эти формулы несут разную информацию [6]. Во-вторых, А разве что В означает Если не В, то А. Значит, отрицание должно стоять перед всем предложение В, а не перед какими-то его составляющими.

Менее точную структуру предложения 19 получим, если соберем обе посылки с помощью «и» (&), проотрицав вторую (из-за разве что), поместим их до импликации, следствие - после.

2-й вариант структуры примера 19: (р &Ø(sÚ s₁))É(q&r).

Не всякому сложноподчиненному предложению будет соответствовать составная формула (со связками). Например, предложение Она сказала, что занята, не разбивается на составные в нашей системе анализа (с помощью имеющихся у нас связок: и, или и т.д.), поэтому при определении его структуры единственный правильный вариант – заменить все предложение одной пропозициональной переменной (р, q и т.п.).

достаточноеусловие, необходимое условие, необходимое и достаточное условие

Предложениям, в которых составные части связаны с помощью выражений необходимое условие, достаточное условие или необходимое и достаточное условие, соответствуют структуры с условной связью. В нашем языке и теории, которая будет построена ниже на его основе, таким предложениям сопоставляются формулы с импликацией – É. (Такое сопоставление в развиваемой ниже теории будет иметь некоторые интуитивно неестественные следствия, о которых будет сказано в следующей теме.)

достаточноеусловие

То, что А является достаточным условием для В, означает что если наступает А, то наступает и В, и в нашем формальном языке выражается структурой А É В.

Пример 20 Две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я выпиваю две чашки эспрессо утром.	p
Я бодр в течение дня.	q

Структура примера 20: р É q.

Пример 21 Неверно, что две чашки эспрессо утром являются достаточным условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Символизация - из прошлого примера.

Структура примера 21: Ø(рÉq).

Варианты ØрÉq и рÉØq неверны: в примере 21 отрицание относится ко всей конструкции с если - то.

необходимое условие

То, что А является необходимым условием для В, означает что если не наступает А, то нет и В, и в нашем формальном языке выражается структурой ØАÉØВ. Последняя формула эквивалентна В É А.

Пример 22 Две чашки эспрессо утром являются необходимым условием, для того чтобы я был бодр в течение дня.

Символизация - из примера 20.

Структура примера 22:

1-й вариант: ØрÉØq;

2-й вариант: q É р.

необходимое и достаточное условие

А является необходимым и достаточным условием для В означает, таким образом, верность двух импликаций: ВÉА и АÉВ. Введя символ для «и», получаем (ВÉА)&(АÉВ). Последняя формула логически эквивалентна А º В. (Иногда выражение АºВ рассматривают просто как сокращение для (ВÉА)&(АÉВ).)

Пример 23 Потеря сознания - необходимое и достаточное условие для того, чтобы я пропустил финал чемпионата мира или Европы по футболу.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
Я потерял сознание.	p
Я пропустил финал чемпионата мира по футболу.	q
Я пропустил финал чемпионата Европы по футболу.	r

необходимое и достаточное условие – º

или – Ú

Структура примера 20: р º (q Ú r).

Пример 24 Радостная новость – достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы Пал Палыч напился.

простые предложения, входящие в состав предложения	символизация
У Пал Палыча радостная новость.	p
Пал Палыч напился.	q

Предложение 24 говорит, что если у П.П. радостная новость, он напивается (рÉq) (достаточность), в то же время неверно, что если П.П. напился, то обязательно по причи

12 3 4 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: