Тема 3: Семантика ЯКЛВ. Логический статус формул. (Логика как система связок)

 

Основные понятия, которые необходимо усвоить: · синтаксис, семантика (синтаксический и семантический аспекты изучения языка) · объектный язык и метаязык · положения, принимаемые при построении семантики КЛВ: непротиворечивость, полнота, функциональность · оценка переменной · оценка последовательности переменных · табличные определения логических связок · логический статус формул

 

В классической логике при интерпретации формул введенного выше языка принимаются следующие положения.

 

Принцип функциональности Значение высказывания целиком определяется значениями высказываний, входящих в его состав. Принцип непротиворечия Одно высказывание не может быть оценено одновременно как истинное и как ложное.

Принцип полноты Всякое высказывание в обязательном порядке оценивается как истинное или как ложное (не может быть высказывания, которое не получило бы одну из этих оценок).

Оценки переменных их последовательностей

Для каждой переменной существует два способа ее оценить: ей приписывается либо объект «истина» (и), либо «ложь» (л). Например, для переменной р:

 

оценки формулы р	р
j 1	и
j2	л

 

Для двух переменных существует 4 способа их совместной оценки.

оценки формул	p	q
j 1	и	и
j2	и	л
j3	л	и
j4	л	л

Оценка j₁ означает предположение, что два высказывания – p и q – оба истинны, оценка j₄ - что оба высказывания ложны. Оценка j₃ задает ситуацию, когда первое из высказываний истинно, а второе – ложно; оценка j₃ – двойственную. Очевидно, что принимая принципы непротиворечия и полноты никакой оценки, отличной от перечисленных, не существует.

Это может быть записано так: j₁(р) =и, j₁(q) =и; j₄(р) =л, j₄(q) =л; j₃(р)=л, j₃(q) =и.

В общем случае для n переменных число их возможных совместных оценок = 2ⁿ. Так, для трех переменных существует (2³=) 8 способов их оценить, т.е. 8 функций оценок; для четырех - (2⁴=) 16, для 5 - (2⁵=) 32 и т.д.

Приведем все возможные функции оценок для трех переменных.

 

Функции оценки переменных	p	q	r
j1	и	и	и
j2	и	и	л
j3	и	л	и
j4	и	л	л
j5	л	и	и
j6	л	и	л
j7	л	л	и
j8	л	л	л

 

Скажем, j₅ задает ситуацию, при которой из трех высказываний ложно только первое: j₅(р) =л, j₅(q) =и, j₅(r) =и.

Для того, чтобы определить истинностное значение какой-либо структуры предложения (либо предложения) надо знать:

(а) значения всех переменных, входящих в ее состав (либо значения всех простых предложений, входящих в его состав);

(б) как логические связки вычисляют значения структуры (предложения) по элементарным составляющим.

Условие (а) – задание всех возможных значений для некоторых переменных – было рассмотрено выше. Теперь дадим определения логических связок.

Табличное определение логических связок

Ø	А	оценки формулы А
л	и	j 1
и	л	j2

оценки формул	А	В	А&В	АÚВ	АÉВ	АºВ	А Ú В
j 1	и	и	и	и	и	и	л
j2	и	л	л	и	л	л	и
j3	л	и	л	и	и	л	и
j4	л	л	л	л	и	и	л

Ú – строгая дизъюнкция, А Ú В читается «либо А, либо В». Нестрогая дизъюнкция (Ú) – неисключающая, структура вида АÚВ понимается «верно А или В (или и то и другое)».

Т

и

^

л

Обратите внимание: выше логическими связками соединялись символы А и В, – но среди исходных нет символов А и В. Мыслилось, что за каждым из них стоит произвольная формула изучаемого языка (ЯКЛВ). Когда вводят обозначения для произвольных формул (А, В, С и т.д. или, например, φ, ψ, φ₁[7] и т.д.) говорят о схемах формул. Так, выражение А&В имеет в виду любую формулу, в которой главный знак – конъюнкция, например, p&(q⊃Ør), q&Ør, (s ≡ (p&(q⊃Ør)))& (Øs₁ÚØs₂). О произвольных формулах ЯКЛВ мы не можем говорить на этом языке: в этом языке у нас нет возможности выразить информацию «любой», «произвольный». В языке КЛВ мы не можем сказать, что некоторое высказывание (формула) истинна или ложна и еще много чего «не можем». Высказывания о языке КЛВ формулируются в другом – более богатом – языке.

 

объектный язык –язык, который является предметом изучения метаязык –язык, средствами которого изучается объектный язык[8]

Упражнения

11. Найти истинностное значение следующих высказываний

а) ⁺ Москва – столица России, а Рим – столица Греции.

б) Москва – столица России, или Рим – столица Дании.

в) Если 11 делится на 3, то 11 делится на 6.

г) Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6.

д) 11 делится на 3 тогда и только тогда, когда 15 делится на 6.

е) Если Майк Тайсон негр, то все негры.

ж) Если Петр I – негр, то все негры.

 

Поясним теперь, о каком недостатке шла речь выше, когда было сказано, что некоторые предложения вида Если А, то В, А только если В, А необходимое/достаточное условие для В будут истинными с точки зрения построенной логической системы, но их будет трудно назвать истинными с точки зрения здравого смысла.

Рассмотрим предложение

(_*) Если население Москвы больше миллиона, то в Африке обитают бегемоты.

Население Москвы больше миллиона – истина.

В Африке обитают бегемоты – истина.

По определению импликации, если и А, и В истинны, предложению структуры А É В приписывается значение «истинно», значит высказывание (_*) – истинно. Далее, А É В можно прочесть как (1) В есть необходимое условие для А, т.е. наличие бегемотов в Африке является необходимым условием для того, чтобы население в Москве было больше миллиона, а также как (2) А есть достаточное условие для В, т.е. тот факт, что в Москве живет такое-то число людей, гарантирует, что в Африке мы найдем гиппопотамов. Этот пример (вы понимаете, что можно привести сколько угодно аналогичных) показывает, что введенная связка не вполне соответствует тому, что мы подразумеваем, говоря если – то, необходимое условие, достаточное условие и т.д. Такие «издержки» связаны с тем, что когда в логике высказываний мы переходим от структуры предложений к конкретным предложениям, никаких ограничений на подставляемые предложения не вводится и вместо А и В в А & В, А É В, А Ú В и т.д. можно в принципе подставлять любые предложения. (Можно ввести ограничение: пусть А и В будут связаны по содержанию, но это сложнейшая задача – смоделировать содержательную связь между высказываниями, оперируя только их структурной информацией.) Затем, классическая логика при определении смысла условной связи исходит из требования- минимума: блокируется только случай, когда из истины следует ложь. Ситуации, когда интуитивно предложение с условной связью ложно, а в нашей теории оно истинно, мы не получим. Наконец заметим, что всякая теория моделирует объект исследования и не может отобразить все свойства: с какими-то свойствами работаем, что-то (важное для решения тех или иных задач) принимаем в расчет, от чего-то абстрагируемся.

 

12. Найдите значение формулы (Øр É q) & (Øq É Ør) при следующих оценках:

а) ⁺ ϕ₁(р) = И, ϕ₁(q) = И, ϕ₁(r) = Л;

ϕ₁((Øр É q) & (Øq É Ør)) = …

б) ϕ₂(р) = Л, ϕ₂(q) = Л, ϕ₂(r) = Л;

ϕ₂((Øр É q) & (Øq É Ør)) = …

Можно ли на основании значений данной конъюнктивной формулы при ϕ₁ и ϕ₂ сделать вывод о её логическом статусе (см. ниже о логическом статусе формул)?

Определения, пояснения и примеры

 

Логический статус формул

В логической теории классическая логика высказываний (сокращенно - КЛВ) все формулы – структуры предложений – разбиваются на три непересекающихся класса:

 

· логические законы (=тождественно-истинные формулы)

· логические противоречия (=тождественно-ложные формулы)

· логически недетерминированные формулы.

 

Формула А есть закон КЛВ, или логический закон, е.т.е. она принимает значение «истина», при любой оценке переменных, входящих в ее состав. (Менее строго: логические законы – это такие структуры (предложений), которые могут порождать только истинные предложения; ложных предложений таких структур не существует.)

Формула А есть логическое противоречие, или тождественно-ложная, е.т.е. она принимает значение «ложь», при любой оценке переменных, входящих в ее состав. (Менее строго: логические противоречия – это такие структуры (предложений), которые могут порождать только ложные предложения; истинные предложения таких структур не существуют.)

Формула А есть логически недетерминирована, е.т.е. существует оценка переменных, входящих в ее состав, при которой она истинна, и существует оценка переменных, при которых она принимает значение «ложь». (Менее строго: логически недетерминированные формулы – это такие структуры (предложений), которым соответствуют как истинные предложения естественного языка, так и ложные.)[9]

Терминологически также выделяются структуры, которые могут породить хотя бы одно истинное предложение. Такие структуры называются выполнимыми. Более строго: формула выполнима, е.т.е. существует оценка переменных, входящих в ее состав, при которой формула принимает значение «истина».

 

Упражнения

 

13. Что вам подсказывает ваша интуиция, каков логический статус нижеследующих формул – логический закон (ЛЗ), логическое противоречие (ЛП) или логически недетерминированная формула (ЛН)? Заполните первый столбец таблицы.

Теперь установите логический статус формул с помощью таблиц истинности, заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.

 

 

Формула	Интуитивно определённый статус	Таблично определённый статус

1. ⁺ Ø(pÚq) º (ØрÚØq)

2. ⁺ ^ É p

3. ⁺Ø(р & q) º (q & р)

4. ⁺ ((р Ú Øq) & r) É (q & Ør)

5. p É T

6. ^

7. T

8. (р & q) º (q & р)

9. (р É q) º (q É p)

10. Ø(p & q) º (Øр & Øq)

11. p & (q & Øр)

12. ((р Ú (q Ú r)) º ((р Ú q) Ú r)

13. Ø(p É q) º (р & Øq)

14. ((р É q) & (р É r)) É ((Øq Ú Ør) É Øp)

15. ((рÚqÚr) º s) É ((pºs) & (qºs) & (rºs))

16. Ø((TÉs)Ú(^É^))

 

14. Используя законы ассоциативности для & и Ú опустите максимальное число скобок в формулах.

(a) ⁺ (((рÚ(q & r))Úq)Ú(((s&r)Úp)&q₁)) É (((p&s) & (q&s)) & (rÚs))

(b) ((р Ú (q & r)) Ú (s&(r&s₁))) É (((p &s) & (q &(rÚ s)) & (r Ú s))

(с) (((р&(q & r)) Ú (s&(r&s₁))) É (((p &s) & (q Ú (rÚ s)) & (r Ú s)))&p₁

 

15. Для следующих формул решите вопрос об их логическом статусе (является ли каждая из них тождественно-истинной, тождественно-ложной или логически недетерминированной), не строя таблицы истинности.

(a) (Ø((sÉ(рÚØq))É((q&r)Ú^)))&((sÚr)&(^&p))

(b) (((q&r)Úr₁))&((sÚr)&(p₁₂&p))) É((p₁₂ºØr)Ú((TÚp₁₂)&(^ÚT)))

(с) (p&r&r₁&r₂&r₃)Ú(((pÚp₁)&(p₂Úr₃))Ú((sÚp)&(rÚq)))

(главный знак в формуле (с) – первая слева дизъюнкция)

 

Если истинность или ложность высказываний зависит не только от понимания логических связок (от логики), но и от фактов (от значения параметров), высказывание относим к логически недетерминированным. Скажем, предложение «Сегодня холодно и морозно» логически недетерминировано, т.к. его структуре – р&q – соответствуют как истинные предложения, так и ложные. В высказывании «сегодня вторник и не вторник», напротив, от фактов (какой именно день недели) ничего не зависит: высказывание ложно, независимо от дня недели, в который оно произносится, поскольку его структура - р&Øр - порождает только ложные предложения. Тогда говорим, что высказывание логически противоречиво. Если структура высказывания – закон логики, тогда это высказывание логически истинно. Если от фактов ничего не зависит, и структура предложения порождает высказывания только одного типа только истинные или только ложные, тогда говорим, что высказывание логически детерминировано.

16. Что вам подсказывает интуиция: значения (истина или ложь) следующих предложений зависят от фактов (т.е. являются логически недетерминированными) или в следующих предложениях от фактов ничего не зависит, а их (предложений) значения целиком определяются их структурой, т.е. (а) истинны в силу структуры (б) ложны в силу структуры; (в) они логически недетерминированы. Сначала решите, что вам подсказывает интуиция, затем установите ответ, проанализировав их структурную информацию с помощью таблиц истинности (т.е. найдите структуру предложения и проанализируйте ее как в упражнении 13.)

а) ⁺ Если неверно, что не знаешь английский, французский и немецкий, значит, ты знаешь эти языки.

б) Москва – столица России или Португалии.

в) Если верно, что Москва – столица Португалии, тогда верно, что она столица Португалии или России.

г) Либо если идет снег, то жарко, либо если жарко, то идет снег (или и то, и другое)[10].

д) Неверно, что если сегодня – четверг, то сегодня четверг.

е) Если на лекции не было Р.Раскольникова или Д.Разумихина, значит неверно сказать, что на лекции присутствовали Р.Раскольников или Д.Разумихин.

ж) Дождь пойдет в том и только в том случае, если я возьму с собой зонтик, хотя неверно, что если я беру с собой зонт, то дождь пойдет.

з) То, что она изучает латынь или (2-й вариант) и латынь, и древнегреческий эквивалентно тому, что она изучает латынь.[11]

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: