Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема 4: Логические отношения между структурами предложений.

Отношение логического следования в КЛВ

Свойства отношения логического следования

Пояснения

Выше изучались структуры отдельных предложений. Рассмотрим, как табличный метод работает с (простейшими) рассуждениями. Табличный метод проверяет, уместен (законен) ли в умозаключении шаг вывода, анализируя структуру умозаключения. В последней выделяются три различных компонента: посылки, шаг вывода, заключения. Структуры посылок и заключения – формулы. Переход от предложений к их структурам уже разобран во 2-й теме. Выше не было символа для отношения логического следования. Будем использовать для него знак «штопора» (выражение Е.К.Войшвилло):

⊨ -символ для отношения логического следования

Стандартное представление структуры умозаключения, в котором n посылок, имеет вид А₁, А₂, …, А_n ⊨В, где А_i(1£i£ n) – структура i-й посылки, В – структура заключения.

Запись ⊨Атакже осмысленна. Она означает, что формула А – закон логики.

Упражнения

17. Придумайте рассуждение, имеющее такую логическую структуру

pÉq, qÉØr, p ⊨ Ør.

18. Придумайте рассуждения нижеследующих структур, которые показывают, что данные схемы рассуждения логически некорректны.

(а) pÉq, qÉr, Øp, Øq ⊨ Ør

(b) pÉ(q&s), q&s ⊨ p

Определения, пояснения и примеры

Определение отношения логического следования А₁, А₂, …, А_n ⊨В, (в КЛВ) е.т.е. не существует оценки переменных, входящих в состав А₁, А₂, …, А_n, В, при которой все посылки – А₁, А₂, …, А_n – истинны, а заключение В – ложно.

Пример. Является ли следующая схема рассуждения логически корректной?

p⊃q¸ p ⊨ q

Схема будет логически правильной, если для нее не существует контрпримера, т.е. рассуждения ее структуры, в котором все посылки истинны, а заключение ложно. Наличие или отсутствие неприемлемого случая распределения истинностных значений (и, и ⊨ л) можно установить рассмотренным выше табличным методом.

Схема рассуждения: p⊃q¸ p ⊨q.

В этой записи:

2 посылки:

1) p⊃q

2) p

заключение: q

«⊨» - символ отношения логического следования.

Построение таблицы для схемы умозаключения

(1) число переменных в схеме n = 2 (p,q);

(2) число строк в таблице вычисляется по формуле 2ⁿ, где n – число (различных) переменных в схеме рассуждения. В нашем случае имеем: число строк= 2²=4.

Получаем следующую таблицу:


оценки р и q	p	q	p	⊃	q	p	⊨	q
ϕ₁	И	И	Л	И	Л	И		И
ϕ₂	И	Л	Л	И	И	И	*	Л
ϕ₃	Л	И	И	Л	Л	Л		И
ϕ₄	Л	Л	И	И	И	Л		Л

Нумерация указывает последовательность вычислений.

Столбцы под р и q в схеме просто повторяют самые левые столбцы – оценки р и q, поэтому, конечно, можно было бы их и опустить.

Нас интересует, есть ли в таблице «плохой» случай, а именно: когда все посылки истинны, а заключение ложно. Для того, чтобы это определить, надо посмотреть на столбец под импликацией (т.к. он показывает 4 возможные оценки 1-й посылки), столбцы под р и q.

Ответ:

Данная схема рассуждения не является логически корректной, так как при оценке ϕ₂переменных p и q имеет место:

ϕ₂ (p⊃q)= и,

ϕ₂(p)= и,

ϕ₂ (q)= л.

Таким образом,между посылками и заключением нет отношения логического следования.

Упражнения

19. Что вам подсказывает ваша интуиция, какова каждая из схем рассуждений 1-11 – логически корректная или нет? Заполните первый столбец таблицы. Для (10), (11) просто решите вопрос о наличии отношения логического следования табличным методом.

Теперь осуществите табличным методом проверку этих схем умозаключений на логическую правильность, заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.

Номер схемы рассуждения

Интуитивно

Таблично

1. ⁺ p&q⊨pvq

2. ⁺ pvq ⊨p

3. ⁺ pºq, qÉr, Øp ⊨ Ør

4. ⁺ (p Ú q) É ^, r ºТ⊨ Ø(pºr)

5. p&q⊨p

6. pvq⊨p&q

7. pº^, qº Т⊨ Ø(pºq)

8. pÉq, qÉr, ØpvØq ⊨ Ør

9. pºØq, qº(r&s), Øp ⊨ r

10. ^⊨ Т

11. Т ⊨^

20. Что вам подсказывает ваша интуиция, каково каждое из нижеследующих рассуждений – логически корректное или нет? Заполните первый столбец таблицы.

Теперь найдите структуры этих рассуждений и осуществите табличным методом их проверку на логическую правильность. Заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.

Номер рассуждения	Интуитивно	Таблично

1. ⁺ Неверно, что он знает английский и французский. Значит, французским он не владеет.

2. ⁺ Неверно, что он знает английский или французский. Значит, французским он не владеет.

3. ⁺ Если сегодня воскресенье, то я высплюсь или схожу в гости. Я и выспался, и в гости сходил. Значит, сегодня воскресенье.

4. Множество вузов Москвы пусто, единично или бесконечно. Но множество вузов в Москве не пусто и не единично. Следовательно, их число бесконечно.

5. Если есть справедливость в этом мире, я не сдам логику, если не подготовлюсь. Не подготовился. Не сдал. Значит, справедливость все-таки существует.

6. «– А когда ты в первый раз заметил, Веничка, что ты дурак? – А вот когда. Когда я услышал одновременно сразу два полярных упрёка: и в скучности, и в легкомыслии. Потому что если человек умён и скучен, он не опустится до легкомыслия. А если он легкомыслен да умён – он скучным быть себе не позволит. А вот я, рохля, как-то умел сочетать.» (Вен. Ерофеев. Москва–Петушки).

7. Я не подготовлюсь и к английскому, и к математике, если у меня не будет много времени. Но времени у меня навалом. Значит, я подготовлюсь к обоим предметам.

(А заодно, значит, и с логикой у меня все в порядке) [12]

Сравнение формул по объему информации, содержащейся в них · Формула А логическисильнее формулы В, е.т.е. выполнены 2 условия: (1) А⊨В и (2) В|¹А (из В не следует А). · О формуле В в этом случае говорят, что она логически слабее А (логически подчиняется А). · Структуры А и В логически эквивалентны, е.т.е. (1) А⊨В и (2) В⊨А. · Структуры А и В не сравнимы по силе, е.т.е. (1) А|¹В и (2) В|¹А (из А не следует В и из В не следует А).

Те же характеризации сохраняем для высказываний:

Высказывание А логически сильнее высказывания В, е.т.е. из логической формы высказывания А логически следует структура высказывания В и т.д..

Пример Сравним по силе два предложения.

(1) Если доллар падает, а евро растет, я в выигрыше.

(2) Если доллар падает, я в выигрыше, и если евро растет – тоже.

(Кстати, что вам подсказывает интуиция или здравый смысл: эти высказывания логически эквивалентны, несравнимы или в одном из них информации больше, чем в другом? В этом случае к правильному ответу можно прийти и через простую аргументацию.)

Проанализируем таблично структурную информацию обоих предложений.

Сначала найдем структуру высказываний. (Символизацию восстановите сами.)

Структура предложения (1): (р&q)Ér

Структура предложения (2): (рÉr)&(qÉr)

Функции оценки переменных	p	q	r	(р&q)	(р&q)Ér	(рÉr)	(qÉr)	(рÉr)&(qÉr)
j₁	и	и	и	и	и	и	и	и
j₂	и	и	л	и	л	л	л	л
j₃	и	л	и	л	и	и	и	и
j₄	и	л	л	л	и	л	и	л
j₅	л	и	и	л	и	и	и	и
j₆	л	и	л	л	и	и	л	л
j₇	л	л	и	л	и	и	и	и
j₈	л	л	л	л	и	и	и	и

(1) (р&q)Ér |¹ (рÉr)&(qÉr), т.к. для j₄ имеем: j₄((р&q)Ér)=и, j₄((рÉr)&(qÉr))=л

(2) (рÉr)&(qÉr) ⊨ (р&q)Ér, т.к. не существует оценки параметров р, q и r, при которой посылка (рÉr)&(qÉr) истинна, а заключение (р&q)Ér – ложна.

Таким образом, первая формула логически подчиняется второй, вторая логически сильнее первой. Соответственно, второе высказывание логически сильнее первого.

21. Для следующих формул определите, сравнимы ли они по силе. Если да, тогда решите вопрос, являются ли эти формулы логически эквивалентными или нет; если нет (т.е. сравнимы, но не эквивалентны), какая из формул в паре логически сильнее, а какая слабее?

Номер пар формул	Интуитивно	Таблично

(a) ⁺ pvq - p v q (v – строгая дизъюнкция)

(b) ⁺ (pºq) – (pÉq)&(qÉp)

(d) pÉq – ØpÉØq

(e) Ø (рÚq) - ØрÚØq

(f) Ø (р&q) - Øр&Øq

(g) p&q - pÚq

(h) p&q – p

(i) p - q

(j) pºq - qÉp

(k) (р & q) É r - (р Ú q) É r

(l) (р Ú q)Ér – (pÉr)&(qÉr)

(m) рÉ(qÉr) – (р&q)Ér

(n) ^ - T

22. Для следующих высказываний определите, сравнимы ли они по силе. Если да, тогда решите вопрос, являются ли эти предложения логически эквивалентными или нет; если нет (т.е. сравнимы, но не эквивалентны), какое из предложений в паре логически сильнее, а какое слабее?

Номер пар предложений	Интуитивно	Таблично

1. Если сегодня 16 июня, то я нахожусь в Дублине и праздную Блумсдэй. – Я нахожусь в Дублине и праздную Блумсдэй.

2. Если сегодня 16 июня, то я нахожусь в Дублине и праздную Блумсдэй. – Если сегодня 16 июня и я нахожусь в этот день в Дублине, то я отмечаю Блумсдэй.

3. Если за дело берется Ш.Холмс или Э.Пуаро, преступление будет раскрыто. – Если за дело берется Ш.Холмс и Э.Пуаро, преступление будет раскрыто.

4. Если О.Бендер мрачен и молчалив, значит он обдумывает комбинацию. – Если О.Бендер не мрачен и не молчалив, значит он не обдумывает комбинацию.

5. Если холодно или идет дождь, мистер NN не идет на работу. – Если мистер NN идет на работу, значит не холодно или нет дождя.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: