 |
Уравнение Бернулли и его следствия
|
|
|
|
Глава 8. Гидро- и аэродинамика
Стационарное течение. Условие неразрывности струи
Гидродинамикой называют раздел физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и взаимодействие их при этом с окружающими твердыми телами.
Идеальной называется жидкость несжимаемая и не имеющая вязкости. Движение жидкости называют течением. Совокупность частиц движущейся жидкости (газа) называют потоком.
Течение жидкости графически изображают линиями тока - воображаемыми линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц, а их густота пропорциональна значению скорости.
Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости.
Установившимся или стационарным называется течение, при котором скорости частиц в каждой точке потокасо временем не изменяются (при этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).
Выделяя часть потока, ограниченную линиями тока, получим трубку тока. На рис. 8.1 трубка тока ограничена пунктирными линиями. Сечения трубки тока, например S1 и S2 (перпендикулярные скорости), различны, поэтому и скорость в этих сечениях неодинакова.
Условие неразрывности струи предусматривает, что струя жидкости нигде не имеет разрывов. Частицы жидкости при стационарном течении движутся по линиям тока, поэтому боковую поверхность трубки тока жидкость не пересекает.
Если за промежуток времени ∆t в трубку тока вошел объем жидкости V, то такой же объем за такой же промежуток времени ∆t должен выйти из трубки тока.
Выберем малый промежуток времени ∆t и будем считать, что вместе с жидкостью передвигаются сечения S1 и S2. Тогда они переместятся на расстояние, соответственно равное ℓ1 = υ1∆t и ℓ2 = υ2∆t. Переместившиеся объемы жидкости
|
|
|
V1 = υ1∆t S1 и V2 = υ2∆t S2
При этом объемы одинаковы, т. е. V1 = V2, поэтому
υ1 S1 = υ2 S2 (8.1)
Данное уравнение, выведенное для двух сечений потока несжимаемой жидкости, называется уравнением неразрывности.
В общем случае для идеальной жидкости в стационарных условиях произведение скорости на поперечное сечение трубки тока остается неизменным в любом сечении трубки, т. е. уравнение неразрывности имеет вид
υ S = соnst (8.2)
Из уравнения неразрывности следует, что в более узком сечении трубки тока скорость должна быть больше, чем в более широком сечении (рис. 8.1).
Уравнение Бернулли и его следствия
В покоящейся жидкости давление зависит только от ее плотности и глубины погружения, но в текущей жидкости оно зависит также от скорости потока.
Рассмотрим течение идеальной жидкости по наклонной трубке тока малого сечения (рис.8.2). Пусть некоторый объем жидкости, заключенный между сечениями 1 и 2, за малый промежуток времени ∆t сместится в положение 1'—2'. При этом через сечения S1 и S2 успеют пройти равные малые цилиндрические объемы жидкости: ∆V = υ1∆t S1 = υ2∆t S2 (на рисунке они заштрихованы). При указанном перемещении жидкости энергия в объеме 1'—2 остается постоянной, поэтому изменения энергии связаны с перемещением части жидкости массой ∆m = ρ∆V из положения 1—1' в положение 2—2'. При этом суммарная работа внешних сил (сил давления и сил тяжести) равна изменению кинетической энергии жидкости:
(8.3)
Работа сил давления, действующих на торцы объема 1—2, равна
Ар = Р1S1υ1 ∆t – Р2S2υ2 ∆t = Р1 ∆V – Р2 ∆V
[силы давления на боковые стенки трубки перпендикулярны направлению перемещения частиц, поэтому работу не совершают].
Работа сил тяжести
Аm = ∆mg(h1-h2) = ∆mgh1-∆mg h2 (8.4)
[h1и h2— высота центра тяжести выделенной массы ∆m жидкости соответственно в верхнем и нижнем положениях над произвольным горизонтальным уровнем].
|
|
|
Подставив выражения для Ар и Аm в формулу (8.3) и разделив обе части равенства на ∆V, после простых преобразований получим
(8.5)
Так как сечения S1 и S2 трубок тока выбраны произвольно, то можно утверждать, что
(8.6)
Это выражение было получено швейцарским физиком Д. Бернулли и называется уравнением Бернулли. Оно является следствием закона сохранения энергии для установившегося течения идеальной жидкости [р — статическое давление,
— динамическое давление, ρgh — гидростатическое давление].
Закон Бернулли: давление текущей жидкости больше в тех местах потока, в которых скорость её движения меньше, и, наоборот, в тех местах, где скорость больше, давление меньше.
Хотя уравнение Бернулли выведено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется и для жидкостей с небольшой вязкостью (вода, бензол, ацетон и др.), а также для газов, когда можно пренебречь их сжимаемостью (при скорости течения, меньшей скорости звука).
|
|
|
