Финансовые вычисления: наращение и дисконтирование.

Временная несопоставимость и плата за отказ от потребления учитывается с помощью операций наращения и дисконтирования. Операция наращения осуществляет переход от «сегодня» к «завтра», т.е S₀ приводится к виду S₁.

Операция дисконтирования – наоборот, т.е S₁ приводится к виду, сопоставимому с S₀. Этот переход осуществляется с помощью процентной ставки «r». При наращении: FS₀ = S₀ *(1+ r) или FS₀ = S₀ + S₀*r); r = (FS₀-S₀)/S₀ При дисконтировании: PS₁ = S₁/1+r/ Наращение и дисконтирование – взаимообратные процедуры. Отсюда видно, что ставка «r» - это отношение приращения от финансовой операции (т.е. полученного эффекта) к исходной величине исходного капитала; это показатель эффективности операции – ее доходность. Схематично эти операции представим на рис.

Процентные ставки и схемы начисления, используемые в финансовых операциях.

Существует две основные схемы дискретного начисления процентов:
Cхема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестированный капитал равен «P»; требуемая доходность – «r» в долях единицы. Инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину «P*r», таким образом его размер через n-лет (Rn) будет равен: Rn = P + Pr₁ + Pr₂ + Pr₃ + …+ Pr_n = P*(1+n*r) Инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестируемого капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленный и невостребованный инвестором процент. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляется процент все время возрастает. Следовательно, величина инвестируемого капитала FVn к концу n-ого года будет равна: FVn = Р*(1+r) ⁿ

Выражение (1+r) ⁿ называют мультипликатирующим множителем для единичного платежа. Тогда получается формула: FVn = Р*FM1(r, n), где FVn – сумма, ожидаемая к поступлению через n базисных периодов; Р – исходная сумма; r – ставка наращения; FM1(r, n) - мультипликатирующий множитель.

Экономический смысл множителя состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица через n-периодов от «сегодня» при заданной процентной ставке r (если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка).

Множитель FM1(r,n) отражает наращение; в инвестиционно–финансовом анализе используется и его противоположность – дисконтирующий множитель для единичного платежа. P = FVn/(1+r)ⁿ = FVn * 1/(1+r)ⁿ = FVn*FM2(r,n); FM2(r,n) = 1/(1+r)ⁿ;где FVn - доход, планируемый к получению в n-ом году; P - дисконтированная (приведенная, сегодняшняя, текущая) стоимость, т.е. оценка величины FVn с позиции «сегодня» (в текущий момент); r - ставка дисконтирования;FM2(r,n) - дисконтирующий множитель.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n-лет (FVn) с позиции «сегодня» будет меньше или равна P, т.е. (FVn <= P), т.к. знаменатель дроби больше 1. Это означает, что для инвестора сумма P в данный момент времени и сумма FVn через n-лет одинаковы по своей ценности.

Экономический смысл FM2(r,n) заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» ценность одной денежной единицы «будущего», т.е. чему с позиции «сегодня» равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса n-периодов спустя от «сегодня» при заданной процентной ставке r и частоте начисления процентов.

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подинтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле: FVn = P*(1+ r/m)^k*m, r - объявленная годовая ставка; m - количество начислений в году; k – количество лет.

Выделяют финансовые контракты, заключаемые на период, отличный от целого числа лет, причем проценты могут начисляться не обязательно 1 раз в год (подпериод, определяющий частоту начисления процентов, называемый базисным). В этом случае используют следующие методы: 1) схема сложных процентов: FVn = P*(1+ r/m)^w+f/ 2) Смешанная схема (используется схема сложных процентов для целого числа базисных подпериодов и схема простых процентов для дробной части базисного подпериода) FVn = P*(1+ r/m)^w * (1+ f*r/m), w - целое число базисных подпериодов финансовой операции; f – дробная часть базисного подпериода; r – годовая ставка; m – количество начислений в году. Поскольку f<1, то (1+f*r) >(1+r)^f, следовательно наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Для того, чтобы обеспечить сравнимый анализ эффективности контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления процентов. Им является эффективная годовая процентная ставка r_e, обеспечивающая переход от P к FVn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов по формуле:
r_e = (1+r/m)^m – 1, r_e является критерием эффективности финансовой сделки и используется для пространственно-временных сопоставлений.

Оценка денежных потоков.

Одним из основных элементов инвестиционно-финансового анализа является оценка денежного потока CF₁,CF₂,CF₃…CF_n, генерирующего в течение ряда временных периодов в результате реализации проекта или функционирования какого-либо вида актива. Элементы потока CF_r могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом.

пренумерандо (авансовым) - элементы денежного потока являются однонаправленными, то есть нет чередования оттоков и притоков денежных средств. постнумерандо генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале либо в его конце, то есть они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: прямой – проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения);обратной – проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, каждому элементу потока применима формула: FVn = Р*(1+r)ⁿ = Р*FM1(r, n)/ Поэтому будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо FV_pst рассчитывается по формуле: FVpst = ∑CFk(1+r)^n-k/

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтирования денежного потока: каждому элементу потока применима формула: P = FVn * 1/(1+r)ⁿ = FVn*FM2(r,n), поэтому дисконтированная стоимость исходного денежного потока постнумерандо PVpst определяется по формуле: PVpst = ∑CFk/(1+r)^k Для потоков пренумерандо формулы трансформируются следующим образом: FVpre = FVpst(1+r) и PVpre = PVpst(1+r)/

Оценка аннуитета.

Возможно два варианта его определения. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительные ограничения: элементы денежного потока одинаковы по величине CF₁=CF₂=…CF_n=A (аннуитету). Второй подход более распространен.

Для оценки будущей дисконтированной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами.

Для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регулярных поступлений (А), продолжительности периодов аннуитета (n) и соответствующему базисному периоду процентной ставки (r) пользуются следующими формулами: FV^apost = A*FM3(r, n), FV^apre = FV^apst(1+r) = A*FM3(r,n)*(1+r), где FM3(r,n) = ∑(1+r)^n-k = ((1+r)ⁿ -1)/r.

Экономический смысл FM3(r,n), называется мультиплицирующий множитель для аннуитета и заключается в следующем: он показывает, чему равна суммарная величина срочного аннуитета в одной денежной единице к концу срока его действия. Значение множителя зависит от r и срока действия n, причем с увеличением каждого параметра величина множителя возрастает.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов пренумерандо и постнумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки, которые имеют вид аннуитетных поступлений, пользуются формулами: PV^apst = A*FM4(r,n), PVa, где

Экономический смысл FM4(r,n) называется дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулируемыми денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, 1 рубль) продолжающуюся n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

При выполнении некоторых расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (50 лет и более). В этом случае прямая задача не имеет смысла, а для обратной задачи ее решение для аннуитетов постнумерандо и пренумерандо делается на основе формул: PV^a∞pst = A/r, PV^a∞pre = PV^a∞pst(1+r) = (A/r)*(1+r)

Во всех формулах оценивания ключевым параметром является процентная ставка r, играющая роль либо ставки наращения, либо дисконтирования. Ее экономический смысл следующий: r равно тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестированный им капитал. Поскольку инвестиционные возможности различных инвесторов (аналитиков) не одинаковы, каждый из них закладывает в модель оценки свое значение ставки – отсюда появляется множественность стоимостных оценок на финансовом рынке, что и приводит к операциям купли-продажи финансовых активов.

Ставку r представляют состоящей из двух частей, r = r_f +r_r где r_f – безрисковая ставка (например, ставка по долгосрочным государственным облигациям); r_r – надбавка за риск.