В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы (рис. 1.2):

контур I: E = RI + R₁I₁ + r₀I,

контур II: R₁I₁ + R₂I₂ = 0,

контур III: E = RI + R₂I₂ + r₀I.

Законы Ома и Кирхгофа используют, как правило, при расчете относительно простых электрических цепей с небольшим числом контуров, хотя принципиально с их помощью можно рассчитать сколь угодно сложные электрические цепи.

При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС или напряжения, сопротивления элементов электрической цепи, и задача сводится к определению токов в ветвях цепи. Зная токи, можно найти напряжения на элементах цепи, мощность, потребляемую отдельными элементами и всей цепью в целом, мощность источников питания и др.

Расчет цепи с одним источником питания

Электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 4, состоит из одного источника питания, имеющего ЭДС E и внутреннее сопротивление r0, и резисторов R1, R2, R3, подключенных к источнику по смешанной схеме. Операции расчета такой схемы рекомендуется производить в определенной последовательности.

Рис. 4.

1. Обозначение токов и напряжений на участках цепи.

Резистор R1 включен последовательно с источником, поэтому ток I1 для них будет общим, токи в резисторах R2 и R3 обозначим соответственно I2 и I3. Аналогично обозначим напряжения на участках цепи.

2. Расчет эквивалентного сопротивления цепи.

Резисторы R2 и R3 включены по параллельной схеме и заменяются согласно эквивалентным сопротивлением:

.

В результате цепь на рис. преобразуется в цепь с последовательно соединенными резисторами R1, R23 и r0. Тогда эквивалентное сопротивление всей цепи запишется в виде:

Rэ = r0 + R1 + R23

3. Расчет тока в цепи источника. Ток I1 определим по закону Ома:

I1 = U/Rэ

4. Расчет напряжений на участках цепи. По закону Ома определим величины напряжений:

U1 = I1R1; U23 = I1R23

Напряжение U на зажимах ab источника питания определим по второму закону Кирхгофа для контура I (рис. 4):

E = I1r0 + U; U = E - I1r0.

5. Расчет токов и мощностей для всех участков цепи. Зная величину напряжения U23, определим по закону Ома токи в резисторах R2 и R3:

; .

По формуле определим величину активной электрической мощности, отдаваемую источником питания потребителям электрической энергии:

P = EI1.

В элементах схемы расходуются активные мощности:

; ; .

На внутреннем сопротивлении r0 источника питания расходуется часть электрической мощности, отдаваемой источником. Эту мощность называют мощностью потерь :

.

6. Проверка правильности расчетов. Эта проверка производится составлением уравнения баланса мощностей: мощность, отдаваемая источником питания, должна быть равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы:

.

Кроме того, правильность вычисления токов можно проверить, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла схемы:

I1 = I2 + I3.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания.

Основным методом расчета является метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа.

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 5. Схема цепи содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа, составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

Рис. 5

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендеются, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: I1 - I2 - I3 = 0;

узел b: I2 - I4 + I5 = 0;

узел c: I4 - I5 + I6 = 0.

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 1.26 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: E1 = I1(r01 + R1) + I3R3;

контур II: 0 = I2R2 + I4R4 + I6R7 - I3R3;

контур III: -E2 = -I5(r02 + R5 + R6) - I4R4.

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: I3 + I6 - I1 = 0

внешний контур схемы: E1 - E2 = I1(r01 + R1) + I2R2 - I5(r02 + R5 +R6) +I6R7.

Независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

.

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

Основные методы расчета сложных электрических цепей.

С помощью законов Ома и Кирхгофа в принципе можно рассчитать электрические цепи любой сложности. Однако решение в этом случае может оказаться слишком громоздким и потребует больших затрат времени. По этой причине для расчета сложных электрических цепей разработаны на основе законов Ома и Кирхгофа более рациональные методы расчета, два из которых: метод узлового напряжения и метод эквивалентного генератора, рассмотрены ниже.

Метод узлового напряжения.

Этот метод рекомендуется использовать в том случае, если сложную электрическую схему можно упростить, заменяя последовательно и параллельно соединенные резисторы эквивалентными, используя при необходимости преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Если полученная схема содержит несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей, как, например, схема на рис. 6, то ее расчет и анализ весьма просто можно произвести методом узлового напряжения.

Пренебрегая сопротивлением проводов, соединяющих ветви цепи, в ее схеме (рис. 6) можно выделить два узла: a и b. В зависимости от значений и направлений ЭДС и напряжений, а также значений сопротивлений ветвей между узловыми точками a и b установится определенное узловое напряжение Uab. Предположим, что оно направлено так, как показано на рис. 6, и известно. Зная напряжение Uab легко найти токи во всех ветвях.

Выберем положительные направления токов и обозначим их на схеме. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров, проходящих по первой и второй ветви, содержащих источники ЭДС, совершая обход контуров по часовой стрелке.

Первая ветвь: E1 = I1(r01 + R1) + Uab.

Вторая ветвь: -E2 = -I2(r02 + R2) + Uab.

Рис. 6

Определим значения токов, возникающих в первой и второй ветвях,

,

,

где: ; – проводимости соответственно первой и второй ветвей.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для ветвей, содержащих источники напряжений, совершая обход контуров также по часовой стрелке.

Третья ветвь: Uab - U1 + I3R3 = 0.

Четвертая ветвь: Uab + U2 - I4R4 = 0.

Определим значения токов, возникающих в третьей и четвертой ветвях,

,

,

где: ; – проводимости соответственно третьей и четвертой ветвей.

Ток в пятой ветви определим по закону Ома:

,

где – проводимость пятой ветви.

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение Uab, напишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a:

I1 - I2 + I3 - I4 - I5 = 0.

После замены токов их выражениями и соответствующих преобразований получим

.

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

.

При расчете электрической цепи методом узлового напряжения после определения величины напряжения Uab значения токов в ветвях находят по их выражениям.

При записи формулы следует задаться положительным направлением узлового напряжения Uab. Со знаком «+» в должны входить ЭДС, направленные между точками a и b встречно напряжению Uab, и напряжения ветвей, направленные согласно с Uab. Знаки в формуле не зависят от направления токов ветвей.

При расчете и анализе электрических цепей методом узлового напряжения рекомендуется выбирать положительные направления токов после определения узлового напряжения. В этом случае при расчете токов по выражениям положительные направления токов нетрудно выбрать таким образом, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Проверка правильности произведенных расчетов проводится по первому закону Кирхгофа для узла a или b, а также составлением уравнения баланса мощностей.

Метод эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора позволяет произвести частичный анализ электрической цепи. Например, определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления. Сущность метода заключается в том, что по отношению к исследуемой ветви amb (рис. 1.7, а) сложная цепь заменяется активным двухполюсником А, схема замещения которого представляется эквивалентным источником (эквивалентным генератором) с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением r0э, нагрузкой для которого является сопротивление R ветви amb.

Если известны ЭДС и сопротивление эквивалентного генератора, то ток I в ветви amb определяется по закону Ома

.

Покажем, что параметры эквивалентного генератора Eэ и r0э можно определить соответственно по режимам холостого хода и короткого замыкания активного двухполюсника.

В исследуемую схему (рис. 7, а) введем два источника, ЭДС которых E1 и Eэ равны и направлены в разные стороны (рис. 7, б). При этом величина тока I в ветви amb не изменится. Ток I можно определить как разность двух токов I = Iэ - I1, где I1 – ток, вызванный всеми источниками двухполюсника А и ЭДС E1 (рис. 7, в);

Iэ – ток, вызванный только ЭДС Eэ (рис. 7, г).

Если выбрать ЭДС E1 такой величины, чтобы получить в схеме ток I1=0, то ток I будет равен (рис. 7, г)

,

где r0э – эквивалентное сопротивление двухполюсника А относительно выводов а и b.

Рис. 7

Так как при I1 = 0 (рис. 7, в) активный двухполюсник А будет работать относительно ветви amb в режиме холостого хода, то между выводами a и b установится напряжение холостого хода U = Uхх и по второму закону Кирхгофа для контура amba получим E1 = I1R + Uхх = Uхх. Но по условию Eэ = E1, поэтому и Eэ = Uхх. Учитывая это, формулу для определения тока I можно записать в такой форме:

.

Электрическая цепь на рис. 7, а может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 7, д), в которой Eэ = Uхх и r0э следует рассматривать в качестве параметров некоторого эквивалентного генератора.

Значения Eэ = Uхх и r0э можно определить как расчетным, так и экспериментальным путем. Для расчетного определения Uхх и r0э необходимо знать параметры элементов активного двухполюсника и схему их соединения.

Для определения величины r0э необходимо удалить из схемы двухполюсника все источники, сохранив все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников ЭДС. Внутренние сопротивления источников напряжений принять равными нулю. Затем рассчитать известными методами эквивалентное сопротивление относительно выводов ab.

Для определения величины Eэ разомкнем цепь и определим по методу узлового напряжения напряжение Uab = Uхх = Eэ между выводами ab активного двухполюсника.

Экспериментально параметры эквивалентного генератора можно определить по результатам двух опытов. Разомкнув ветвь с сопротивление R (рис. 7, д), измеряем напряжение между выводами a и b Uab = Uхх = Eэ (опыт холостого хода). Для определения r0э проводится (если это допустимо) опыт короткого замыкания: заданная ветвь замыкается накоротко и в ней измеряется ток короткого замыкания Iкз. По закону Ома рассчитываем величину r0э = Eэ/Iкз.