 |
Самостоятельные задания по теме
|
|
|
|
Герела Т.А.
СТАТИСТИКА
Методические рекомендации по выполнению практических работ
по дисциплине для студентов среднего профессионального образования
Санкт-Петербург, 2014
Организация-разработчик: Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Колледж «Императорский Александровский лицей»
Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Статистика» рассмотрены методическим советом колледжа и рекомендованы для использования в учебном процессе – протокол № 1 от 28.08.2014.
Методист колледжа А.Ф. Жмайло
Часть 1. Теоретическая статистика
Тема 1. Абсолютные и относительные статистические величины
Методические указания по теме
Задача 1. Расход топлива на производственные нужды предприятия характеризуется в отчетном периоде следующими данными:
| Вид топлива | Теплотворная способность, МДж/кГ | Расход, т | |
| по плану | фактически | ||
| Дизельное топливо | 41,9 | ||
| Мазут | 40,1 | ||
| Уголь | 26,4 |
Определить общее количество потребленного условного топлива (1 т.у.т. = 29,3 МДж/кГ) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по общему расходу топлива.
Решение. Учитывая стандартную теплотворную способность 29,3 МДж/кГ, определяем количество потребленного условного топлива каждого вида по плану (X’1i) и фактически (X1i):
– дизельное топливо: X’1дт = 41,9/29,3*1000 = 1430,034 т.у.т.
дизельное топливо: X1дт = 41,9/29,3*1050 = 1501,536 т.у.т.;
– мазут: X’1м = 40,1/29,3*750 = 1026,451 т.у.т.
мазут: X1м = 40,1/29,3*730 = 999,078 т.у.т.;
– уголь: X’1у = 26,4/29,3*500 = 450,512 т.у.т.
уголь: X1у = 26,4/29,3*555 = 500,068 т.у.т.
Суммируя количество потребленного условного топлива каждого вида, получим общее количество потребленного условного топлива:
|
|
|
– по плану X’1 = ∑ X’1i = 2906,997 т.у.т.;
– фактически X1 = ∑ X1i = 3000,682 т.у.т.
Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана, то есть отношение значений по факту и плану отчетного периода:
, (1)
Применяя формулу (1), имеем: 
= 3000,682/2906,997 = 1,032, то есть план по общему расходу топлива перевыполнен на 3,2%.
Задача 2. Рассчитать индекс и темп изменения, если в марте произведено продукции 130 тонн, а в феврале 100 тонн.
Решение. Индекс изменения (динамики) характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):
, (2)
где подиндексы означают: 1 — отчетный или анализируемый период, 0 — прошлый или базисный период.
Критериальным значением индекса динамики (темпа роста) служит единица, то есть если 
>1, то имеет место рост явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад явления. Применяя формулу (2), имеем: = 130/100 = 1,3 (или 130%) > 1 – рост объема произведенной продукции.
Темп изменения (прироста) определяется по формуле (3):
. (3)
Применяя формулу (3), имеем: Т = 1,3 – 1 = 0,3 (или 30%), то есть объем произведенной продукции вырос в марте по сравнению с февралем на 30%.
Задача 3. Рассчитать индексы планового задания, выполнения плана и динамики, если выпуск продукции в отчетном году составил 100 млн. рублей, на следующий год планировалось 140 млн. рублей, а фактически получено 112 млн. рублей.
Решение. Индекс планового задания – это отношение значений одной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по факту базисного. Он определяется по формуле (4):
, (4)
где X’1 — план анализируемого периода; X0 — факт базисного периода.
Применяя формулу (4) имеем: 
= 140/100 = 1,4 (или 140%), то есть на следующий год планировалось выпустить продукции в размере 140% от объема предыдущего года.
|
|
|
Индекс выполнения плана определим, применяя формулу (1): 
= 112/140 = 0,8 (или 80%), то есть план по увеличению выпуска продукции выполнили лишь на 80% или недовыполнили на 20%.
Индекс динамики можно определить по формуле (2) или перемножая индексы планового задания и выполнения плана, то есть 
= 1,12.
Задача 4. Суммарные денежные доходы россиян в 2005 г. составили 13522,5 млрд. руб., из которых 8766,7 млрд. руб. составила оплата труда, 1748,4 млрд. руб. – социальные выплаты, 1541,7 млрд. руб. – доход от предпринимательской деятельности, 1201,5 млрд. руб. – доходы от собственности, остальное – прочие доходы. Рассчитать относительные величины структуры и координации, приняв за основу оплату труда. Построить секторную (круговую) диаграмму структуры доходов.
Решение. Индекс структуры (доля) – это отношение какой-либо части величины (совокупности) ко всему ее значению. Он определяется по формуле (5):
(5)
Применяя формулу (5) и округляя значения до 3-х знаков после запятой, имеем:
– доля оплаты труда dОТ = 8766,7/13522,5 = 0,648 или 64,8%;
– доля социальных выплат dСВ =1748,4/13522,5 = 0,129 или 12,9%;
– доля доходов от предпринимательской деятельности dПД =1541,7/13522,5 = 0,114 или 11,4%;
– доля доходов от собственности dДС =1201,5/13522,5 = 0,089 или 8,9%.
Долю прочих доходов найдем, используя формулу (6), согласно которой сумма всех долей равна единице:
. (6)
Таким образом, доля прочих доходов dпроч = 1 – 0,648 – 0,129 – 0,114 – 0,089 = 0,020 или 2,0%.
Индекс координации – это отношение какой-либо части величины к другой ее части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):
. (7)
Применяя формулу (7) и принимая за основу оплату труда, имеем:
– индекс координации социальных выплат 
= 1748,4/8766,7 ≈ 0,129/0,648 = 0,199;
– индекс координации предпринимательского дохода 
=1541,7/8766,7 ≈ 0,114/0,648 = 0,176;
– индекс координации доходов от собственности 
= 1201,5/8766,7 ≈ 0,089/0,648 = 0,137;
– индекс координации прочих доходов 
≈ 0,02/0,648 = 0,031.
Таким образом, социальные выплаты составляют 19,9% от оплаты труда, предпринимательский доход – 17,6%, доходы от собственности – 13,7%, а прочие доходы – 3,1%.
Задача 5. Запасы воды в озере Байкал составляют 23000 км3, а в Ладожском озере 911 км3. Рассчитать относительные величины сравнения запасов воды этих озер.
|
|
|
Решение. Индекс сравнения – это отношение значений одной и той же величины в одном периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий. Он определяется по формуле (8):
, (8)
где А, Б — признаки сравниваемых объектов или территорий.
Применяя формулу (8) и принимая за объекты А и Б, соответственно, озера Байкал и Ладожское, найдем индекс сравнения: 
= 23000/911 = 25,25, то есть запасов воды в озере Байкал в 25,25 раза больше, чем в Ладожском озере.
Меняя базу сравнения, найдем индекс сравнения Ладожского озера с Байкалом по той же формуле: = 911/23000 = 0,0396 или 3,96%, то есть запасы воды в Ладожском озере составляют 3,96% запасов воды в озере Байкал.
Задача 6. Рассчитать относительную величину интенсивности валового внутреннего продукта (ВВП) в сумме 1416,1 млрд. $ на душу населения в России в 2004 году при численности населения в 144,2 млн. человек.
Решение. Показатель интенсивности – это отношение значений двух разнородных абсолютных величин для одного периода времени и одной территории или объекта. Он определяется по формуле (9):
. (9)
Применяя формулу (9) имеем: iИН = 1416,1/0,1442 = 9820,39 $/чел в год.
Самостоятельные задания по теме
Вариант 1. Определить общее производство моющих средств в условных тоннах (условная жирность 40%) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по следующим данным:
| Вид продукта | Жирность, % | Физическая масса, т | |
| по плану | фактически | ||
| Мыло хозяйственное | |||
| Мыло туалетное | |||
| Стиральный порошок |
Вариант 2. По данным о численности жителей двух крупнейших городов России (тыс. чел) определить индексы сравнения и динамики.
| Город Год | ||
| Москва | ||
| Санкт-Петербург |
Вариант 3.
1. По плану на 2012 год намечалось увеличение товарооборота на 3%. В 2012 году плановое задание перевыполнили на 600 млн. руб. или на 2,5%. Определить фактический прирост товарооборота (в млн. руб.) в 2012 году по сравнению с 2011 годом.
1. По данным о товарообороте из предыдущей задачи, состоящего из реализации собственной продукции и продажи покупных товаров, определить относительные величины координации и структуры собственной и покупной продукции в 2011 и 2012 годах, если известно, что доля собственной продукции в 2011 году составила 65%, а в 2012 году она увеличилась на 10%.
|
|
|
Вариант 4. Жилищный фонд и численность населения России следующие (на начало года):
| Год | ||||
| Весь жилищный фонд, млн. м2 | ||||
| Численность населения, млн. чел. | 145,6 | 145,0 | 144,2 | 143,5 |
Охарактеризовать изменение обеспеченности населения жилой площадью с помощью относительных величин динамики и координации.
Вариант 5.
1. В России в 2004 численность женщин составила 77144,3 тыс. чел, а мужчин – 67023,9 тыс. чел. Рассчитать относительные величины структуры и координации.
2. По плану объем продукции в отчетном году должен возрасти по сравнению с прошлым годом на 2,5%. План выпуска продукции перевыполнен на 3,0%. Определить фактический выпуск продукции в отчетном году, если известно, что объем продукции в прошлом году составил 25,3 млн. руб.
Вариант 6. Определить общий объем фактически выпущенной продукции по следующим данным по трем филиалам предприятия, выпускающих однородную продукцию:
| Номер филиала | Планируемый объем выпуска продукции, млн. руб. | Выполнение намеченного плана, % |
Вариант 7. По промышленному предприятию за отчетный год имеются следующие данные о выпуске продукции:
| Наименование продукции | План на I квартал, тыс. т | Фактический выпуск, тыс. т | Отпускная цена за 1 т, у.е. | ||
| январь | февраль | март | |||
| Сталь арматурная | |||||
| Прокат листовой |
Определить процент выполнения квартального плана: 1) по выпуску каждого виа продукции; 2) в целом по выпуску всей продукции.
Вариант 8. Определить процент выполнения плана по продажам условных школьных тетрадей (1 у.ш.т. – 12 листов) по каждому виду тетрадей и в целом по магазину по следующим данным:
| Вид тетради | Цена, руб./шт. | Объем продаж, тыс. шт. | |
| по плану | фактически | ||
| Тетрадь общая 90 листов | |||
| Тетрадь общая 48 листов | |||
| Тетрадь общая 16 листов |
Вариант 9. В России на начало года численность населения составила 144,2 млн. чел., в течение года: родилось 1,46 млн. чел., умерло – 2,3 млн. чел., мигрировало из других государств 2,09 млн. чел., мигрировало за границу – 1,98 млн. чел. Охарактеризовать изменение численности населения в году с помощью относительных величин.
Вариант 10. Определить общий объем фактически выпущенной условной консервной продукции (1 у.к.б. = 0,33 л) по следующим данным:
|
|
|
| Вид продукции | Планируемый объем выпуска продукции, тыс. шт. | Выполнение плана, % |
| Томатная паста 1 л | ||
| Томатная паста 0,5 л | ||
| Томатная паста 0,2 л |
Тема 2. Средние величины и показатели вариации
Методические указания по теме
Задача 1. Имеются следующие данные о возрастном составе студентов группы заочного отделения ВУЗа (лет): 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 22; 23; 23; 24; 25; 25; 25; 26; 27; 29.
Для анализа распределения студентов по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения и его график; 2) рассчитать модальный, медианный и средний возраст, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации; 3) проверить распределение на нормальность с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса.
Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n):
n=1+3,322lgN, (10)
где N – число величин в дискретном ряде.
В нашей задаче n = 1 + 3,322 lg 25 = 1 + 3,322*1,398 = 5,64. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 6.
После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:
h=H/n, (11)
где H – размах вариации, определяемый по формуле (12).
H=Хмах–Хmin, (12)
где Xмax и Xmin — максимальное и минимальное значения в совокупности.
В нашей задаче h = (29 – 19)/6 = 1,67.
Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.
Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи
| Xi, лет | fi | ХИ | XИfi | ХИ- 
| 
| (ХИ- )2
| (ХИ- )2fi
| (ХИ- )3 fi
| (ХИ- )4 fi
|
| до 20,67 | 19,833 | 237,996 | -2,134 | 25,602 | 4,552 | 54,623 | -116,539 | 248,638 | |
| 20,67-22,33 | 21,5 | 86,000 | -0,467 | 1,866 | 0,218 | 0,871 | -0,406 | 0,189 | |
| 22,33-24 | 23,167 | 69,501 | 1,200 | 3,601 | 1,441 | 4,323 | 5,190 | 6,231 | |
| 24-25,67 | 24,833 | 74,499 | 2,866 | 8,599 | 8,217 | 24,650 | 70,659 | 202,543 | |
| 25,67-27,33 | 26,5 | 53,000 | 4,533 | 9,067 | 20,552 | 41,105 | 186,348 | 844,806 | |
| более 27,33 | 28,167 | 28,167 | 6,200 | 6,200 | 38,446 | 38,446 | 238,383 | 1478,091 | |
| Итого | — | 549,163 | — | 54,937 | — | 164,018 | 383,636 | 2780,498 |
Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (13):
, (13)
где ХMo – нижнее значение модального интервала; fMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака (вес признака) в модальном интервале; fMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; fMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным; h – величина интервала изменения признака в группах.
В нашей задаче чаще всего повторяется (12 раз) первый интервал возраста (до 20,67), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (13), определяем точное значение модального возраста:
Мо = 19 + 1,667*(12-0)/(2*12-4-0) = 20 (лет).
Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая – меньше медианы. Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так:
, (14)
где XMe – нижняя граница медианного интервала; h – его величина (размах); 
– сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; fMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.
В нашей задаче второй интервал возраста (от 20,67 до 22,33) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста. Используя формулу (14), определяем точное значение медианного возраста:
Ме = 20,67 + 1,667*(12,5-12)/4 = 20,878 (года).
Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (не сгруппированном) порядке, по общей формуле (15). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (16).
= 
; (15) = 
. (16)
При этом обозначено: Xi – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (15) и (16) при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).
Таблица 2. Виды степенных средних и их применение
| m | Название средней | Формула расчета средней | Когда применяется | |
| простая | взвешенная | |||
| Арифметическая |  =  (17)
| =  (18)
| Чаще всего, кроме тех случаев, когда должны применяться другие виды средних | |
| –1 | Гармоническая | ГМ =  (19)
| ГМ =  (20)
| Для осреднения величин с дробной размерностью при наличии дополнительных данных по числителю дробной размерности |
| Геометрическая |  (21)
|   (22)
| Для осреднения цепных индексов динамики | |
| Квадратическая |  =  (23)
| =  (24)
| Для осреднения вариации признака (расчет средних отклонений) | |
| Кубическая |  =  (25)
| =  (26)
| Для расчета индексов нищеты населения | |
| Хронологическая |  (27)
|  (28)
| Для осреднения моментных статистических величин |
Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть 
< 
< < 
< . Так, если 
, то 
, а если 
, то 
.
В нашей задаче, применяя формулу (18) и подставляя вместо 
середины интервалов возраста ХИ, определяем средний возраст студентов: = 549,163/25 = 21,967 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.
Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.
Среднее линейное отклонение определяется по формулам (29) и (30):
–простое; (29) 
– взвешенное. (30)
Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (31):
. (31)
Дисперсия определяется по формулам (32) или (33):
–простая; (32) 
–взвешенная. (33)
В нашей задаче, применяя формулу (30), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = 54,937/25 = 2,198 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации: 
= 2,198/21,967 = 0,100. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,100 < 0,333).
Применяя формулу (33), получим в итоге дисперсию: Д = 164,018/25 = 6,561. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: 
= 
= 2,561 (года).Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации: 
= 2,561/21,967 = 0,117. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,117 < 0,333).
В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (34) и коэффициент асимметрии Пирсона (35):
,(34) 
.(35)
Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно – левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен.
В нашей задаче 
= 
=383,636/25 = 15,345; 
=2,5613= 16,797; 
=15,345/16,797 = 0,914 > 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона: As = (21,967-20)/2,561 = 0,768.
Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:
= 
.(36)
Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка 
, который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого 
=3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (37):
.(37)
Для приближенного определения эксцесса может быть использована формула Линдберга (38):
,(38)
где 
– доля количества вариант, лежащих в интервале, равном половине (в ту и другую сторону от средней величины).
В нашей задаче числитель центрального момента 4-го порядка рассчитан в последнем столбце расчетной таблицы. В итоге по формуле (37) имеем: Ex = (2780,498/25)/2,5614–3 = 111,220/43,017–3 = -0,415. Так как Ex<0, то распределение низковершинное. Это подтверждает и приблизительный расчет по формуле (38): в интервале 21,967 
0,5*2,561, то есть от 20,687 до 23,248 находится примерно 21,4% студентов. Таким образом, Ex = 0,214 – 0,3829 = –0,169.
|
|
|
