 |
Правило поглощения (одна переменная поглощает другие)
|
|
|
|
X1+X1X2 X3 =X1(1+X2 X3)=X1
Правило склеивания (выполняется только по одной переменной)
Также как в обычной математике в алгебре логики имеется старшинство операций. При этом первым выполняется:
1. Действие в скобках
2. Операция с одним операндом (одноместная операция) – НЕ
3. Конъюнкция - И
4. Дизъюнкция - ИЛИ
5. Сумма по модулю два.
Операции одного ранга выполняются слева направо в порядке написания логического выражения. Алгебра логики линейна и для неё справедлив принцип суперпозиции.
Функции алгебры логики (ФАЛ).
При аналитическом способе ФАЛ задается в виде логических выражений, получаемых путем логических преобразований с помощью законов и правил Булевой алгебры.
При табличном способе ФАЛ задается таблицей истинности, где число всех возможных наборов (комбинаций) аргументов конечно. Если число аргументов ФАЛ равно n, то число их возможных наборов 
, а число различных функций 
, тогда при n =2, F =16. Составим таблицу истинности для функций двух аргументов.
Таблица 1.
| Аргументы | Функции | ||||||||||||||||
| 
| 
|  .
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
В таблице 1 приведены элементарные ФАЛ 
двух аргументов. В левой части таблицы перечислены все возможные наборы аргументов и , в правой части приведены значения ФАЛ на соответствующих входных наборах. Значения всей совокупности этих наборов переменных представлены в таблице последовательностью чисел в двоичной системе счисления.
Каждая ФАЛ обозначает одну из 16 возможных логических операций над двумя переменными и , имеет свою таблицу истинности, собственное название и условное обозначение.
|
|
|
Основные сведения об элементарных функциях даны в таблице 2. Таблицы истинности для каждой ФАЛ составляются отдельно по таблице 1.
Таблица 2
 Функция
| Операционные символы | Обозначения, названия | Зарубежные аналоги |
| 0 | Константа 0 | Const 0 |
| 
|  И – лог. умножитель
|  AND – Conjunctor
|
| 
|  Запрет
|  Inhibition
|
| 
|  Повторитель
|  BF – Buffer
|
| 
|  Запрет 
|  Inhibition
|
| 
|  Повторитель
|  BF – Buffer
|
| 
|  Исключающее ИЛИ
|  Exlusive – OR
|
| 
|  ИЛИ – лог. сумматор
|  OR – Disjunctor
|
| 
|  ИЛИ – НЕ, функция Пирса
|  NOR,
Peers F.
|
|   
|  Исключ. ИЛИ – НЕ
|  EX – NOR
|
| 
|  НЕ – инвертор
|  NOT – Invertor
|
| 
|  Импликатор
|  Implicator
|
| 
|  НЕ – инвертор
|  NOT – Invertor
|
| 
|  Импликатор
| Implicator 
|
| 
|  И – НЕ, функция Шеффера
|  NAND, Shaffer F.
|
| 1 | 
Генератор 1
| 
Generator 1
|
Логический базис.
Логические функции могут быть реализованы простейшими логическими элементами. Совокупность логических элементов И, ИЛИ, НЕ, с помощью которых можно воспроизвести и реализовать любую ФАЛ, будем называть полным логическим базисом.
Базис И, ИЛИ, НЕ обладает избыточностью и не является минимальным. Из этой совокупности ЛЭ можно исключить логический элемент И (либо ЛЭ ИЛИ), тогда наборы И, НЕ и ИЛИ, НЕ также будут обладать свойством базиса.
При проектировании логических схем вычислительной техники самое широкое применение получили базис Шеффера И-НЕ и базис Пирса ИЛИ-НЕ, обладающие свойством логического базиса.
Следует отметить, что одну и ту же логическую функцию (операцию) можно реализовать в различных базисах. Покажем это на примерах простых логических операций дизъюнкции и конъюнкции:
; 
. (7)
Используя законы инверсии 
и 
, преобразуем логические выражения 
:
; 
. (8)
Выражения (7) отражают принцип двойственности алгебры логики: если в логическом выражении операцию дизъюнкции заменить на операцию конъюнкции (либо наоборот) и проинвертировать все переменные, то результат окажется инверсным прежнему значению.
|
|
|
Используя принцип двойственности алгебры логики, реализуем логическое выражение (7) в различных базисах.
Рис. 2
Из рис.2 следует: если переименовать все входы и выходы логического элемента ЛЭ1 на инверсные значения и заменить ЛЭ 
дизъюнкции на ЛЭ2 конъюнкции, то функции дизъюнкции можно выполнить с помощью элементов НЕ, И (ЛС3) либо базиса Шеффера И-НЕ (ЛС4).
Все логические схемы (рис. 2) выполняют логическую операцию (функцию) ИЛИ, которую можно реализовать на однотипных логических элементах И-НЕ, а при наличии инверсных сигналов в проектируемом устройстве – на одном ЛЭ И-НЕ.
На рис. 2 ЛС3 и ЛС4 – логические схемы, в состав которых входят несколько логических элементов ЛЭ.
Аналогично можно показать, что логическую операцию (функцию) И можно выполнить в базисах НЕ, ИЛИ либо в базисе Пирса ИЛИ-НЕ (рис. 3).
Рис. 3
Таким образом, логический базис, представляющий собой совокупность типов логических элементов, может быть выполнен на универсальных логических элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ, выпускаемых промышленностью в интегральном исполнении. Полный логический базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется на начальной стадии проектирования функциональных узлов для составления функциональных схем.
|
|
|
