 |
Короткі теоретичні відомості
|
|
|
|
Автоколивання – специфічний режим роботи нелінійних систем, що відповідає стійким незатухаючим коливанням з певною амплітудою й частотою.
Автоколивання можуть виникати тільки у нелінійних системах. Принципова різниця цих коливань від незатухаючих коливань у лінійних системах полягає в тому, що відхилення параметрів автоколивань (амплітуди, частоти і т.д.) малим зміщенням у процесі подальшого руху зменшується.
У попередній лабораторній роботі було наведено, що незатухаючим коливанням відповідає замкнута фазова траєкторія (замкнутий цикл). Цей цикл, який називають граничним, є ізольованим: він обмежений траєкторіями, що навиваються на нього (рис. 9.1, а) або скручуються з нього (рис. 9.1, б).
Рисунок 9.1 – Граничний цикл з траєкторіями, що навиваються (а) на нього і скручуються з нього (б)
Якщо у результаті малого зміщення з граничного циклу в будь-якому напрямку ми попадаємо на траєкторію, що необмежено наближається до циклу, то цикл стійкий (рис. 9.1, а).
Стійкий граничний цикл на фазовій площині розмежовує два процеси:
- коливальний процес, що розходиться (крива 1, рис. 9.2), який виникає при малих початкових відхиленнях;
- затухаючий коливальний процес (крива 2, рис. 9.2), що виникає при значних відхиленнях.
Із рисунка випливає, що рівноважний стан системи нестійкий. Але процес розходиться до певної амплітуди 
, тобто практично коливальний процес буде стійким, бо при одних початкових значеннях він розходиться, а при інших – затухає.
У системі, фазовий портрет якої наведено на рис. 9.1, а), автоколивання виникають ніби “самі по собі” від як завгодно малого збурення. Збудження коливань такого роду називають м’яким.
|
|
|
Рисунок 9.2 – Автоколивання у нелінійних системах:
1 – коливальний процес, що розходиться; 2 – затухаючий коливальний процес; 3 – періодичний коливальний процес з постійною амплітудою а0 і постійною частотою w0
Уявимо фазовий портрет із двома циклами: внутрішнім нестійким і зовнішнім стійким (рис. 9.3).
 |
Початок координат – стійкий фокус. Усередині внутрішнього циклу рух з часом зупиняється, автоколивання не виникають. Щоб їх збудити, необхідний досить сильний поштовх, який виведе початкову точку за граничний нестійкий цикл. Це система із жорстким збудженням автоколивань.
Нестійкий граничний цикл обмежує у фазовій площині зону допустимих початкових збуджень, за яких стан рівноваги ще залишається стійким.
Слід зазначити, що автоколивання не є змушеними коливаннями. Вони є власними вільними коливаннями системи і мають цілком визначену амплітуду і частоту, які не залежать від початкових умов процесу, а залежать тільки від параметрів самої системи, тобто об’єкта і регулятора.
Система, в якій виникають автоколивання, може вважатись практично стійкою і придатною для потреб регулювання, якщо амплітуда коливань a0 незначна і частота їх безпечна, тобто накладення цих коливань на постійне значення вихідної величини практично допустиме за технічними вимогами.
Автоколивання можуть виникати не лише у САК. До автоколивальних систем можна віднести ламповий генератор, годинник, поршневий двигун, духовий інструмент. Автоколивальний характер носять і такі процеси у живих організмах, як дихання та робота серця.
Отже, можна дати таке визначення автоколивальній системі: система, здатна створювати незатухаючі коливання, якщо вона характеризується наявністю: джерела живлення; клапана, що регулює надходження енергії у коливальну систему; зворотного зв’язку з коливальної системи на клапан.
Одним із методів дослідження автоколивань є метод гармонічного балансу. Він дозволяє визначити умови появи та параметри автоколивань як у системах другого порядку, так і в більш складних системах, може використовуватися у випадку, коли характеристика нелінійного елемента 
є неоднозначною. При цьому метод має достатню для практичних потреб точність і, що найбільш важливо, найкоротшим шляхом приводить до безпосереднього вираження потрібних залежностей амплітуди і частоти автоколивань від параметрів системи. Це полегшує задачу як загального аналізу властивостей даної САК, так і вибір її структури та параметрів під час проектування чи налагодження системи.
|
|
|
Метод ґрунтується на гіпотезі фільтра, відповідно до якої вважається, що автоколивання наближено можна знайти у синусоїдальній формі:
, (9.1)
тобто, лінійна частина системи є достатньо інерційною і не пропускає високочастотні гармоніки коливань (являє собою фільтр низьких частот).
При цьому слід пам’ятати, що на виході нелінійного елемента буде з’являтись періодичний сигнал, форма якого залежить від характеру нелінійності й в загальному випадку суттєво відрізняється від синусоїдальної (так, наприклад, на виході ідеального реле утворюється періодичний сигнал прямокутної форми).
Розглянемо простий контур регулювання (рис. 9.4). Система не зазнає зовнішніх впливів, тобто 
.
Перші гармоніки величин x та y на вході й на виході нелінійного елемента дорівнюють:
Рисунок 9.4 – Структурна схема нелінійної САК
Зазначимо, що 
, тоді отримаємо такий вираз для y:
. (9.2)
В операційній формі запису:
. (9.3)
Коефіцієнти g і b називають гармонічними коефіцієнтами передачі нелінійного елемента або коефіцієнтами гармонічної лінеаризації. Ці коефіцієнти є функціями амплітуди: 
; 
. Вони залежать від виду нелінійності. Для однозначних характеристик 
, для петльових характеристик гістерезисного типу 
завжди є від’ємною величиною.
У таблиці 9.1 наведені коефіцієнти g і b для основних нелінійностей.
Таблиця 9.1 – Коефіцієнти гармонічної лінеаризації типових нелінійностей
| № | 
| 
|
|
| 
| ||
| 
| ||
|
| 
| |
| 
| ||
| 
|
Із виразу (9.3) можна знайти відношення між y та x і назвати його еквівалентною передавальною функцією нелінійного елемента:
|
|
|
.
Для отримання частотної передавальної функції приймаємо 
, і тоді:
, (9.4)
тобто, еквівалентна частотна передавальна функція нелінійного елемента є функцією амплітуди і не залежить від частоти: 
.
Модуль еквівалентної передавальної функції 
показує відношення амплітуди першої гармоніки на виході до амплітуди вхідного сигналу, а аргумент 
- фазовий зсув між першою гармонікою виходу та вхідним синусоїдальним сигналом. Для однозначних характеристик 
, тобто вони не завдають запізнень за фазою.
Для розімкнутої системи можна записати:
. (9.5)
Якщо у замкнутій системі існують автоколивання, то 
. Тоді
, (9.6)
. (9.7)
Останнє рівняння є рівнянням гармонічного балансу, яке характеризує умови виникнення автоколивань. Роз’вязувати його можна різними методами, але найбільш розповсюдженим є графоаналітичний метод Гольдфарба (метод був запропонований 1944 року одночасно Гольдфарбом (СРСР) і Кохенбургером (США)).
За цим методом на комплексній площині будують АФЧХ лінійної частини системи і обернену гармонічну характеристику нелінійного елемента 
(рис.9.5).
Якщо ці годографи перетинаються, то у досліджуваній системі можливі автоколивання. Параметри автоколивань при цьому легко визначити, оскільки 
має частотні позначки, а характеристика - амплітудні. Якщо характеристики не перетинаються, то автоколивання відсутні.
При цьому слід пам’ятати правило: якщо, рухаючись по кривій у сторону збільшення амплітуди, ми виходимо з контуру, охопленого , то точці перетину відповідають стійкі коливання (точка Д), а якщо входимо (точка С) – нестійкі (рис. 9.5). Точка Д визначає параметри автоколивань.
Слід пам’ятати, що даний метод є наближеним, оскільки вважається, що лінійна частина системи є фільтром низьких частот.
|
|
|
