Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Первообразная и неопределенный интеграл

М.А. ЕВДОКИМОВ,

Л.В. ЛИМАНОВА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Самара

Самарский государственный технический университет

2012

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика»

М.А. ЕВДОКИМОВ,

Л.В. ЛИМАНОВА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебника

Самара

Самарский государственный технический университет

2012

УДК 517

Е 15

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Жданов А.И.

Евдокимов М.А.

Е15 Интегральное исчисление и его приложения: Учебник / М.А. Евдокимов, Л.В. Лиманова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2012. – 209 с.

ISBN 978-5-7964-1155-1

При переходе к стандартам обучения по учебным планам бакалавриата неизбежно значительное сокращение учебных часов, отводимых на курс математики. Поэтому приходится изыскивать возможности внесения в программу разделов курса ранее изучавшихся отдельными главами, например, теории функции комплексного переменного. Так, в разделах «Введение в математический анализ» и «Дифференциальное исчисление» входят соответствующие темы из курса ТФКП. В данном учебном пособии авторы продолжили реализовывать эту концепцию построения курса высшей математики и ввели раздел, посвященный интегрированию функции комплексного переменного. Это соответствует принятой учебной программе бакалавриата для студентов многих инженерно-технических специальностей ВУЗов.

В каждый раздел включено достаточное количество задач, примеров и упражнений, многие из которых иллюстрируют связь математики с другими дисциплинами. Отличительной чертой данного учебного пособия является включение в него множества задач профессиональной направленности, подобранных для различных специальностей технического вуза.

Предназначен для студентов и преподавателей технических университетов.

УДК 517

Е 15

ISBN 978-5-7964-1155-1 © М.А. Евдокимов, Л.В. Лиманова,

2012

технический университет, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции. Метод исчерпывания − это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому[1]. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.

Упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, заложивших основу современного математического анализа. В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых-математиков максимально расширять область приложения математических методов.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером. Лейбниц одновременно с Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование − взаимно обратные операции.

Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.

Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений. Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.

Это было время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно, и современный математический анализ только создавался. Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новое исчисление. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, и Эйлер был одним из немногих по своей продуктивности творцов. Его «Введение в анализ бесконечно малых», «Основания дифференциального исчисления» и «Основания интегрального исчисления» были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.

В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, невыразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в XIX веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши (1789-1857), немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826-1922) теории меры. Эти работы стали теоретическим обоснованием построения интеграла по мере и развития теории кратных, криволинейных интегралов, а также интегралов теории функции комплексного переменного. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале двадцатого столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А.Я. Хичиным (1894-1959).

Сегодня понятия производной и интеграла стали необходимыми элементами общей культуры человека. Они расширяют кругозор и оказываются полезными не только при решении технических задач, но и в самых разных областях знаний.

1. неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть дана функция Тогда производная Оператор, сопоставляющий функции её производную, называется оператором дифференцирования D:

Рассмотрим обратную задачу: зная функцию найти функцию , производная которой равна

(1.1)

Говорят, что функция F (x)является первообразной для функции f (x).

Примеры

2) первообразной для функции является функция Вместе с тем первообразной будет и функция , и , и т. д.

Из последнего примера следует, что задача об отыскании первообразной не имеет единственного решения.

Теорема 1 (о виде первообразных). Любые две первообразные для одной и той же функции различаются лишь на постоянную величину.

Доказательство. Пусть F (x) и Ф(х) – две первообразные для функции f (x), т. е.

Таким образом, любая первообразная для заданной функции имеет вид

Здесь F (x) – какая-либо первообразная; С – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f (x)называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается

(1.2)

В (1.2) f (x)называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением. Процедура вычисления неопределённого интеграла называется интегрированием функции f (x).

Геометрический смысл неопределённого интеграла ясен из рис. 1.1, где показано множество кривых, каждая из которых может быть получена сдвигом кривой y = F (x)в направлении оси ординат. Неопределённый интеграл есть произвольный элемент y = F (x) + С указанного семейства кривых.

На неопределённый интеграл можно смотреть как на оператор, действующий из С в С ¹:

Оператор интегрирования иногда обозначают следующим образом:

имея в виду, что если заменить точку функцией f (x), то получится значение оператора на функции f (x).

Теорема 2 (о существовании неопределённого интеграла). Для всякой функции класса С _[ _a _, _b _] существует неопределённый интеграл на том же отрезке .