 |
Задания для самостоятельного решения
|
|
|
|
Вычислить интегралы:
1. 
. Ответ. 
.
2. 
. Ответ. 
.
3. 
. Ответ. 
.
4. 
. Ответ. 
.
5. 
. Ответ. 
.
6. 
. Ответ. 
.
7. 
. Ответ. 
.
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
Выполним в интеграле 
формальную замену переменной интегрирования 
(1.6)
Проверим полученную формулу, вычислив производные по x от левой и правой частей равенства:
Таким образом, формула (1.6) доказана. При этом считалось, что
Формула (1.6) выражает метод интегрирования подстановкой, или метод замены переменной интегрирования. Этот метод целесообразно использовать в тех случаях, когда интеграл в правой части равенства (1.6) проще, чем в левой. После вычисления нового интеграла приходится возвращаться к старой переменной, для чего находят обратную функцию 
Примеры
1. 
= 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
Подстановки, использованные в приведенных примерах, весьма просты, и их следует научиться выполнять «в уме», не производя записей с переменной t.
Также для решения можно использовать свойство:
.
Доказать его можно с помощью подстановки 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1. 
. Ответ. 
.
2. 
. Ответ. 
.
3. 
. Ответ. 
.
4. 
. Ответ. 
.
5. 
. Ответ. 
.
6. 
. Ответ. 
.
7. 
. Ответ. 
.
8. 
. Ответ. 
.
9. 
. Ответ. 
.
10. 
. Ответ. 
.
11. 
. Ответ. 
.
12. 
. Ответ. 
.
|
|
|
13. 
. Ответ. 
.
14. 
. Ответ. 
.
1.5. Интегрирование по частям
Второй из основных методов интегрирования базируется на формуле, выражающей дифференциал произведения:
Отсюда имеем
или, рассматривая левую и правую части равенства как подынтегральные выражения, получаем
(1.7)
Произвольная постоянная в правой части равенства не пишется.
Формула (1.7) выражает метод интегрирования по частям. Этот метод уместно использовать в тех случаях, когда функция u (x)при дифференцировании упрощается. Поэтому в качестве u (x)выбирают функции 
(по возрастанию сложности).
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение
.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
.
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого определяется искомый интеграл (такой интеграл называют циклическим).
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение
.
Пример 4. Вычислить интеграл
.
Решение
.
Пример 5. Вычислить интеграл
Решение
.
Обозначив исходный интеграл за I, получим уравнение
.
Решим его относительно I:
.
Тогда
.
Пример 6. Вычислить интеграл
.
Решение
.
Пример 7. Вычислить интеграл
.
Решение
.
Следует обратить внимание на то, как усложняется вид функции при действии на неё оператора интегрирования. Это явление является типичным.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1. 
. Ответ. 
.
2. 
. Ответ. 
.
3. 
. Ответ. 
.
4. 
. Ответ. 
.
5. 
. Ответ. 
.
6. 
. Ответ. 
.
7. 
. Ответ. 
.
8. 
. Ответ. 
.
|
|
|
1.6. Интегрирование функций,
содержащих квадратный трехчлен
1. Интегралы вида 
.
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:
.
В зависимости от знака выражения 
интеграл сведется
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби
.
Тогда
.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби
.
Тогда
.
Пример 3. Найти интеграл
Решение
2. Интегралы вида 
.
Выделим в числителе производную от знаменателя. Для этого числитель представим в виде
.
Тогда
.
В первом интеграле числитель является производной от знаменателя. Поэтому
.
Второй интеграл рассмотрен в п. 1.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Имеем
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение
Преобразуем знаменатель
.
Тогда
.
3. Интегралы вида 
.
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении
Интеграл сведется к табличным интегралам 15 или 16.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении
.
Тогда
.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Преобразуем квадратный трехчлен к виду
.
Тогда
4. Интегралы вида 
.
Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов
Первый из интегралов есть табличный интеграл
,
а второй рассмотрен в п. 3.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим в числителе производную от подкоренного выражения
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим в числителе производную от подкоренного выражения
Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1. 
. Ответ. 
.
2. 
. Ответ. 
.
3. 
. Ответ. 
.
4. 
. Ответ. 
.
5. 
. Ответ. 
.
6. 
. Ответ. 
.
7. 
. Ответ. 
.
8. 
. Ответ. 
.
1.7. Интегрирование рациональных дробей
|
|
|
