Оценивание arch-n модели: метод максимального правдоподобия.
Применение метода максимального правдоподобия требует явного задания функции плотности распределения случайных величин (N) ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Оценки метода максимального правдоподобия (ММП) доставляют максимум критериальной функции, составленной из вкладов отдельных наблюдений: (3.1) где вклад t-го наблюдения определяется как (3.2)
вклады наблюдения t записываются как (3.3) (3.4)
Вычислим условные ожидания (3.3) и (3.4) в точке истинных параметров. Значения функций (3.5) (3.6) Обозначим (3.7) Вследствие (3.5) безусловное ожидание градиента критериальной функции равно нулю: (3.8) Определим информационную матрицу как безусловную ковариацию градиента в точке (3.9) Поскольку последовательность вкладов наблюдений в градиент критериальной функции серийно не коррелирует (равенство (3.5)), информационная матрица может быть также вычислена по формуле (3.10) Для дальнейшего изложения существенно, что соотношения (3.3)-(3.10) были выведены вне связи с гипотезой (N).
ИНФОРМАЦИОННАЯ МАТРИЦА.
В теории метода максимального правдоподобия известно равенство (3.11) которое нетрудно установить и в данном случае. Внешнее произведение вклада t-го наблюдения в градиент (3.12) однако вычислить полные ожидания не представляется возможным. В некоторых случаях вектор q можно разделить на компоненты b и g, первая из которых параметризует условное среднее, вторая – условную дисперсию. Тогда
Engle (1982) приводит набор достаточных условий и формальное доказательство для ARCH (q)- N модели. Блочная диагональность информационной матрицы между параметрами b и g означает, что оценки параметров среднего состоятельны даже при неверной спецификации функции условной дисперсии. В частности, оценки методом наименьших квадратов являются состоятельными, однако, выигрыш в эффективности от использования ММП по сравнению с МНК может оказаться сколь угодно великим. Более того, оценки g, полученные на основе состоятельных, но не эффективных оценок b (например, на основе МНК), сохраняют свойство асимптотической эффективности. Не обладают свойством блочной диагональности информационные матрицы ARCH-M моделей: для них разбиения q = (b, g) не существует. Иное исключение составляют EGARCH модели и другие, в которых
При определенных условиях регулярности оценки максимального правдоподобия состоятельны, асимптотически нормальны и эффективны с асимптотической матрицей ковариации (3.13) Существуют два базовых способа состоятельно оценить информационную матрицу. Первый способ основан на связи информационной матрицы и гессиана (равенства (3.11)-(3.12)). В качестве оценки приемлема матрица (3.14) Данная оценка построена как сумма выражений вида Второй способ вытекает из равенства (3.10) для информационной матрицы. Опустив знаки мат. ожиданий и воспользовавшись оценками неизвестных параметров, приходим к (3.15) Второй способ восходит к статье Berndt, Hall, Hall, and Hausman и потому называется BHHH. Другое название - метод внешнего произведения градиента (outer product of the gradient, OPG). Как (3.16.а) (3.16.б)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|