Короткі теоретичні відомості

З математичної точки зору найбільш суттєвою відмінністю лінійних систем від нелінійних є те, що до останніх не застосовується принцип суперпозиції: реакція нелінійної системи на декілька впливів не дорівнює сумі реакцій на окремі впливи. До нелінійних систем також не застосовується принцип комутативності, тобто у системі не можна міняти місцями між собою нелінійні елементи, а також нелінійні та лінійні елементи.

Для дослідження нелінійних систем не можна застосовувати перетворення Лапласа і Фур’є й отримані на їх основі передавальні функції, бо ці перетворення є лінійними.

Стійкість нелінійних систем визначається не тільки структурою і параметрами САК (як у лінійних системах), але залежить і від початкових відхилень відносно стану рівноваги.

Усі ці особливості нелінійних САК обумовили необхідність розробки ряду методів для їх дослідження. Одним із цих методів є метод фазової площини, який ґрунтується на зображенні руху системи на фазовій площині за допомогою фазових траєкторій. Він дозволяє порівняно просто досліджувати динаміку нелінійних систем другого порядку.

Існують деякі типи рівнянь другого степеня, які можна тими чи іншими методами привести до рівнянь першого степеня. До них належать рівняння, які не містять незалежної змінної в явній формі , і рівняння, які не містять функції y: . Ці рівняння зводяться до системи рівнянь:

і . (8.1)

У цьому випадку рух можна зобразити на площині у системі координат (), які називаються фазовими координатами. При цьому кожному моменту часу відповідає фіксоване значення координат і , що зображуються точкою в осях і . Величини і показують фази руху при зміні часу . Тому площина (, ) називається фазовою площиною, а лінія, яку прокреслює на ній точка при зміні , називається фазовою траєкторією (рис. 8.1).

Сукупність фазових траєкторій, яка дає загальне уявлення про характер руху, називається фазовим портретом системи.

Найбільш розповсюдженим є спосіб зображення руху, при якому використовуються дві фазові змінні: основна координата х і швидкість її зміни y=dx/dt.

Тоді рівняння (8.1) матимуть вигляд:

; . (8.2)

Поділивши друге рівняння на перше, отримаємо диференціальне рівняння інтегральної кривої на фазовій площині:

. (8.3)

Його розв’язок дає рівняння інтегральної кривої у кінцевій формі.

Із рівнянь (8.2) і (8.3) можна встановити такі важливі особливості фазового портрету:

- точка фазової площини, в якій похідна dy/dx невизначена, тобто одночасно y=0 і f(x; y)=0, відповідає стану рівноваги системи (зупинці руху) і називається особливою точкою;

- якщо f(x; y) і y визначені у деякій області, безперервні у ній та мають безперервні частинні похідні за своїми аргументами, то через будь-яку точку фазової площини, крім особливих, проходить єдина інтегральна крива, тобто фазові траєкторії не перетинаються у неособливих точках;

- оскільки при y=dx/dt > 0 значення х тільки збільшується, а при - тільки зменшується, то у верхній частині фазової площини при збільшенні точка рухається за фазовою траєкторією зліва направо, а в нижній частині – справа наліво. Напрям руху на траєкторіях відмічають стрілками;

- у точках, де y=0 і f(x; y)¹0 (неособливі точки абсцис), фазові траєкторії перетинають вісь абсцис під прямим кутом.

Ці особливості слід враховувати при побудові фазових траєкторій.

Між фазовими портретами й перехідними процесами існують такі закономірності:

- стійкому перехідному процесу відповідає фазова траєкторія, що сходиться до початку координат; нестійкому процесу відповідає фазова траєкторія, що віддаляється від початку координат;

- періодичному процесу відповідає замкнута фазова траєкторія; фазова траєкторія у вигляді еліпса відповідає синусоїдальним коливанням (якщо коливання несинусоїдальні, замкнутий контур буде відрізнятися від еліпса);

- особливі точки можуть бути відокремлені або утворювати цілі особливі відрізки, які називаються відрізками спокою. У системах з релейними характеристиками довжина відрізка спокою дорівнює ширині зони нечутливості;

- фазовий портрет нелінійної системи, що має частково-лінійну або розривну характеристику, складається з декількох зон з різними фазовими траєкторіями. Лінії, що відділяють на площині одну зону від іншої, називають лініями перемикання. У точках перетину фазовими траєкторіями ліній перемикання відбувається зламування траєкторій. Це відбувається через зміну правої частини рівняння (8.3).

Отже, за заданим рівнянням динаміки САК можна побудувати її фазовий портрет, за яким легко винести судження про те, які перехідні процеси можливі у даній системі.

Даний метод аналізу нелінійних САК дуже зручний і наочний для систем другого порядку. При підвищенні порядку збільшується і кількість необхідних координат (вона дорівнює порядку рівняння). Тому фазові траєкторії потрібно було б зображати у тримірному чи n-мірному просторах, що значно ускладнює задачу.