 |
Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
Введение
Материалы к каждому практическому занятию содержат краткую теоретическую информацию, примеры выполнения типовых заданий, а также варианты заданий для самостоятельного решения. Задания отличаются выбором параметров в исходных данных.
В таблице 1 предлагаются рекомендуемые значения параметров по вариантам.
Таблица 1.
| № | ||||||||||||||||
| m | ||||||||||||||||
| n |
В приложении к практикуму содержатся основные сведения об инструментах MathCad и использовании их для решения предлагаемых задач.
Лабораторная работа № 2
Геометрические векторы и операции над ними
Вопросы по теме
1. Введите понятия: геометрический вектор, длина вектора, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы, свободные векторы.
2. Как задать координаты вектора в декартовой системе координат?
3. Дайте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций. Как выполнять линейные операции над векторами в координатной форме?
4. Дайте определение скалярного произведения векторов. Приведите формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.
5. Введите понятие ортогональной проекции вектора на заданное направление.
6. Перечислите свойства скалярного произведения и приведите формулу для вычисления угла между векторами.
7. Приведите формулу для вычисления длины вектора с помощью скалярного произведения и перечислите свойства длины вектора.
8. Дайте определение векторного произведения и перечислите его свойства.
|
|
|
9. Дайте определение смешанного произведения и перечислите его свойства.
Примеры решения задач
1. Изобразить в декартовой системе координат геометрические векторы 
и 
; построить вектор 
и найти его координаты. Вычислить координаты вектора 
в соответствии с правилами выполнения линейных операций над векторами, заданными в координатной форме.
Решение.
Напомним, что вектор 
совпадает по направлению с вектором 
и имеет в два раза большую длину. Сумма векторов
и 
построена по правилу «треугольника», т.е. начало вектора параллельным переносом совмещено с концом вектора . В результате получен вектор . Координаты этого вектора: 
.
Вычислим координаты вектора 
в соответствии с правилами выполнения линейных операций над векторами, заданными в координатной форме: 
.
Нетрудно убедиться, что результаты построения и вычисления совпадают.
2. Известны: длина вектора 
; длина вектора 
; угол между этими векторами φ =π/3.
Требуется: а) длину вектора 
; б) найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и ;
в) найти значение λ, при котором векторы и 
будут ортогональны.
Решение.
Отметим, что диагонали параллелограмма – это векторы 
и 
. Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.
а) Длину вектора вычислим по формуле: 
б) Угол α между векторами и вычислим по формуле:
.
в) значение λ найдём из условия ортогональности векторов, а именно, скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю: 
3. Даны координаты векторов 
и 
. Вычислить: длину каждого вектора, скалярное произведение векторов, угол φ между векторами, длину вектора , пользуясь правилами выполнения операций над векторами, заданными в координатной форме. Найти вектор 
и смешанное произведение векторов 
.
Решение.
; 
;
;
;
;
;
Смешанное произведение векторов это число, равное скалярному произведению вектора на вектор 
. Можно доказать также, что смешанное произведение равно определителю, строками которого являются векторы 
.
|
|
|
4. Выполнить задания из предыдущего пункта с помощью MathCad.
Вычисления в MathCad.
Заметим, что в среде MathCad векторы должны быть представлены в виде векторов-столбцов.
Задания для самостоятельной работы
1. Изобразить в декартовой системе координат геометрические векторы 
и 
; построить вектор 
и найти его координаты. Вычислить координаты вектора в соответствии с правилами выполнения линейных операций над векторами, заданными в координатной форме.
2. Известны: длина вектора 
; длина вектора 
; угол между этими векторами φ =π/3.
Требуется: а) длину вектора 
; б) найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и ;
в) найти значение λ, при котором векторы и будут ортогональны.
3. Даны координаты векторов 
и 
. Вычислить: длину каждого вектора, скалярное произведение векторов, угол φ между векторами, длину вектора , пользуясь правилами выполнения операций над векторами, заданными в координатной форме. Найти вектор и смешанное произведение векторов .
4. Выполнить задания из предыдущего пункта с помощью MathCad.
Лабораторная работа № 3
Нахождение характеристик геометрических тел
с помощью средств векторной алгебры
Вопросы по теме
1. Опишите координатный метод решения задачи о делении отрезка в заданном отношении.
2. Введите понятие: проекция вектора на заданное направление. Приведите формулу для вычисления проекции вектора на заданное направление.
3. Приведите формулы для вычисления: длины вектора, угла между векторами, площади параллелограмма, сторонами которого являются два неколлинеарных вектора, площади треугольника, у которого заданы координаты вершин.
4. Как найти вектор, перпендикулярный к двум заданным неколлинеарным векторам?
5. Как найти объём пирамиды, если заданы координаты её вершин?
|
|
|
I Требования к выполнению и оформлению контрольной работы
II. Задания с кратким ответом
II. Учащиеся получают листы с заданиями и документами
M Продумайте способ снижения/увеличения степени сложности одного и того же задания.
Q А как справляются с определением времени по «немым» часам и с самостоятельной расстановкой стрелок здоровые испытуемые?
Q Какие задания используются для проверки импрессивной речи?
V. Задания по теме.
Абсолютная проницаемость. Методы получения. Способ задания.
Алгоритм выполнения задания
Алгоритм выполнения индивидуального задания 2
