Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Примеры решения задач




1. Даны вершины треугольника A (6; 5; -5), B (9; 6; -2), C (8; 7; 2).

Найти:

а) длины сторон треугольника;

б) координаты точки пересечения медиан;

в) углы треугольника;

г) вектор, ортогональный плоскости треугольника и площадь треугольника;

д) длины высот треугольника;

е) проекцию вектора на вектор ;

Вычисления проводить с помощью MathCad.

Решение.

 

а) Вычислим координаты и длину векторов в среде MathCad. Напомним, что векторы надо представлять в виде столбцов:

б) Пусть AA 1 и BB 1 - медианы треугольника. Воспользуемся тем, что координаты середины отрезка равны половине суммы соответствующих координат концов отрезка. Найдём координаты точки A 1:

Обозначим M - точку пересечения медиан и воспользуемся свойством медиан: точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, т.е. AM= 2 MA 1. В координатной форме это условие примет вид:

Разрешив эти уравнения относительно неизвестных координат токи M, получим:

Найдём координаты точки M в MathCad:

.

в) Обозначим углы треугольника: φA, φB, φC.

Воспользуемся формулой: , где φ угол между векторами и .

Вычисления в MathCad:

г) Вектор, ортогональный к плоскости треугольника можно получить, вычислив векторное произведение векторов и . Обозначим вектор, ортогональный плоскости треугольника .

Площадь треугольника .

В среде MathCad:

д) Напомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Обозначим высоты треугольника h 1, h 2, h 3. Тогда S =0.5∙| AB |∙ h 1=0.5∙| BC |∙ h 2=0.5∙| AC |∙ h 3.

В среде MathCad:

.

е) Проекцию вектора на вектор вычисляют по формуле:

. Вычислим средствами MathCad: .

Следовательно, .

2. Даны координаты вершин пирамиды

A (-1; -2; 1), B (-2; -2; 5), C (-3; -1; 1), D (-1; 0; 3).

Найти:

а) длину ребра AB;

б) угол между рёбрами AB и AC;

в) плошадь грани ABC;

г) объём пирамиды;

д) высоту пирамиды, опущенную из вершины D на грань ABC;

е) угол между ребром AD и гранью ABC.

Вычисления проводить с помощью MathCad.

Решение.

а) длина ребра AB:

б) угол между рёбрами AB и AC:

в) площадь грани ABC:

г) объём пирамиды равен одной шестой части от модуля смешанного произведения векторов , и :

д) высоту пирамиды можно найти, воспользовавшись формулой :

.

Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...