Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Примеры решения задач




1. По координатам вершин треугольника ABC

A (3; 1), B (3; -5), C (-1; -1) найти:

а) уравнение сторон BA и BC; б) уравнение прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC; в) уравнение высоты AD; г) уравнение биссектрисы AM; д) расстояние от вершины A до прямой BC.

Решение.

а) Уравнение стороны BC найдём, воспользовавшись уравнением прямой линии, проходящей через две заданные точки l: .

lBС: ; lBС: ; lBС: y +5= - x +3;

 

lBС: y = - x -2; lBС: x + y +2=0;

Сторона BA параллельна оси Oy: lBA: x =3; lBA: x -3=0.

б) Обозначим lA - уравнение прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC. Угловой коэффициент прямой lA такой же, как и прямой lBС и равен -1. Воспользуемся уравнением прямой линии с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. В нашем примере k =-1, A (3; 1).

Следовательно, l A: y- 1= - (x -3); l A: y = -x +4;

в) Высота AD перпендикулярна прямой BC, следовательно, угловой коэффициент прямой l AD

.

Уравнение прямой AD

l AD: y- 1=1∙(x -3); l AD: y = x -2.

г) Найдём координаты точки, воспользовавшись тем, что биссектриса разделяет сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. .

Вычислим длины сторон треугольника:

; .

Тогда . В координатной записи уравнение примет вид: ; ;

; .

Уравнение прямой l AM: ;

l AM: ; l AM: ;

 

l AM: ; l AM: .

д) Расстояние от вершины A (3; 1) до прямой lBС: x + y +2=0:

.

Задания для самостоятельной работы

1. По координатам вершин треугольника ABC

A (m; n), B (m; - m - n), C (m - n; -1) найти:

а) уравнение сторон BA и BC; б) уравнение прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC; в) уравнение высоты AD; г) уравнение биссектрисы AM; д) расстояние от вершины A до прямой BC.

 

Лабораторная работа № 6
Прямая линия и плоскость в пространстве

Вопросы по теме

1. Приведите различные виды уравнений плоскости в пространстве и поясните смысл параметров этих уравнений.

2. Приведите различные виды уравнений прямой линии в пространстве и поясните смысл параметров этих уравнений.

3. Как вычислить угол между плоскостями?

4. Как вычислить угол между прямыми линиями?

5. Как вычислить угол между прямой линией и плоскостью?

Приведём основные формулы, необходимые для решения задач по теме практикума.

1. Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D =0, где A, B, C, D - параметры плоскости, причём, A 2 +B 2 +C 2 ≠0.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору: A (x - x 0) +B (y - y 0) +C (z - z 0) =0, где (x 0, y 0, z 0)- координаты точки, через которую проходит плоскость, (A, B, C) - координаты ненулевого вектора, перпендикулярного плоскости.

3. Нормальное уравнение прямой линии: ax+by+сz-p =0, где (a, b, с) - координаты единичного вектора, перпендикулярного прямой линии, параметр p >0 равен расстоянию от плоскости до начала координат.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1(x 1; y 1; z 1), M 2(x 2; y 2; z 2), M 3(x 3; y 3; z 3):

.

5. Уравнение плоскости в отрезках, проходящей через точки M 1(a; 0; 0), M 2(0; b; 0), M 3(0; 0; c): .

6. Уравнение прямой, проходящей через точки M 1(x 1; y 1; z 1) и M 2(x 2; y 2; z 2): .

6. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0, z 0) и имеющей направляющий вектор , параллельный прямой: .

7. Уравнение прямой в параметрическом виде, если она проходит через точку M 0 (x 0, y 0, z 0) и параллельна вектору : .

8. Если прямая задана как пересечение двух плоскостей, то её направляющий вектор можно получить как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей:

, , .

Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...